Διαφορικός λογισμός και Ολυμπιάδες

[chris_gatos]

Έστω f.g : [0,1]-> R με
(1) g(0)=g(1)=0
(2) .
Nα δείξετε ότι f(x)=1 για κάθε x στο [0,1].
(απο μαθηματική ολυμπιάδα της Αγγλίας).

Υ.Γ το 39; είναι η..κλασσική παράγωγος!

Χρήστο, έκανα τη διόρθωση. Κ. Σερίφης

Να'σαι καλά Κώστα,δε θα αξιωθώ ποτέ να καταλάβω τι μου συμβαίνει με την παράγωγο!

[silouan]

Για x=0 kai x=1 εύκολα παίρνουμε ότι
Έχουμε ότι άρα οι αριθμοί είναι ομόσημοι
άρα ή άρα η συνάρτηση
είναι αύξουσα άρα
'Ομως και επομένως
από όπου άρα

[chris_gatos]

Πολύ ωραία λύση smar...

[Ilias_Zad]

το πρωτο μου μηνυμα και μενα στο forum αυτο. Για οσους μπαινουν mathlinks ή mathcom ειμαι ο χρηστης athinaios μια καπως διαφορετικη προσεγγιση.
ευκολα
θα αποδειξω οτι ισχυει για καθε x στο [0,1]= Δ
η f ειναι συνεχης στο [0,1] αρα παρουσιαζει μεγιστη και ελαχιστη τιμη μ,Μ
αν παρουσιαζει μεγιστη και ελαχιστη τιμη στα 2 ακρα του Δ τοτε προφανως
αν παρουσιαζει μεγιστη ή ελαχιστη τιμη( ή το αντιστροφο) σε ενα εσωτερικο σημειο του Δ και σε ενα ακρο αυτου τοτε απο fermat και την σχεση μας, αρα
αν παρουσιαζει μεγιστη ή ελαχιστη τιμη σε σημεια εσωτερικα του διαστηματος τοτε παλι λογω fermat με ομοιο τροπο αποδεικνυεται οτι
συνεπως για καθε x στο [0,1]

[Τηλέγραφος Κώστας]

Για x=0 kai x=1 εύκολα παίρνουμε ότι
Έχουμε ότι άρα οι αριθμοί είναι ομόσημοι
άρα ή άρα η συνάρτηση
είναι αύξουσα άρα
'Ομως και επομένως
από όπου άρα

[Τηλέγραφος Κώστας]

Θα μπορουσαμε να την λυσουμε πριν την αποδειξη του Rolle σε δυνατους μαθητες .

Για x=0 kai x=1 εύκολα παίρνουμε ότι
Έχουμε ότι άρα οι αριθμοί είναι ομόσημοι
άρα ή άρα η συνάρτηση
είναι αύξουσα άρα
'Ομως και επομένως
από όπου άρα

[Μπάμπης Στεργίου]

Έστω f.g : [0,1]-> R με
(1) g(0)=g(1)=0
(2) .
Nα δείξετε ότι f(x)=1 για κάθε x στο [0,1].
(απο μαθηματική ολυμπιάδα της Αγγλίας).

Υ.Γ το 39; είναι η..κλασσική παράγωγος!

Χρήστο, έκανα τη διόρθωση. Κ. Σερίφης

Να'σαι καλά Κώστα,δε θα αξιωθώ ποτέ να καταλάβω τι μου συμβαίνει με την παράγωγο!

Σε όσους συναδέλφους δεν έχουν ίσως ακόμα προλάβει να εντρυφήσουν στο χώρο των ολυμπιάδων , να πω πληροφοριακά και μόνο, ότι αποφεύγονται θέματα ανάλυσης (από όριο και κάτω). Αυτό γίνεται διότι η ανάλυση είναι άλλου επιπέδου κλάδος με πλήθος εργαλλεία και σε πολλές χώρες διδάσκονται ελάχιστα πράγματα. Ωστόσο από το γενικό μέρος των συναρτήσεων μπαίνουν συχνά πολύ σκληρά θέματα, ακόμα και σε ΙΜΟ.
Φυσικά στο χώρο αυτό μπορούμε να συζητάμε και τέτοια θέματα, αν νομίζει κάποιος ότι η άσκηση που προτείνει ταιριάζει εδώ πιο πολύ από ότι στον φάκελο του καθηγητή ή στα θέματα με απαιτήσεις ή στο ΑΣΕΠ κλπ.
Μπάμπης

[comengdr]

Όντως δεν έχω εντρυφήσει σε ολυμπιάδες, ακόμα ψάχνομαι αν θέλω να εντρυφήσω, αλλά τη συγκεκριμένη άσκηση τη βρήκα σε βιβλίο το οποίο την προλόγιζε "Από μαθηματική ολυμπιάδα Αγγλίας"...

chris_gatos!

[cretanman]

Όντως δεν έχω εντρυφήσει σε ολυμπιάδες, ακόμα ψάχνομαι αν θέλω να εντρυφήσω, αλλά τη συγκεκριμένη άσκηση τη βρήκα σε βιβλίο το οποίο την προλόγιζε "Από μαθηματική ολυμπιάδα Αγγλίας"...

Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos)

Στοιχηματίζω ότι είναι από το βιβλίο του Μπαϊλάκη η συγκεκριμένη άσκηση (χωρίς να το έχω μπροστά μου αφού βρίσκεται στη βιβλιοθήκη μου στη Κρήτη).

Αλέξανδρος

[comengdr]

Καλημέρα Αλέξανδρε. Όντως είναι απο αυτό το βιβλίο, που το βρήκα τελείως τυχαία μπροστά μου, μετά απο...υπόδειξη
του Παναγιώτη (rastaffari).

[Μπάμπης Στεργίου]

Όντως δεν έχω εντρυφήσει σε ολυμπιάδες, ακόμα ψάχνομαι αν θέλω να εντρυφήσω, αλλά τη συγκεκριμένη άσκηση τη βρήκα σε βιβλίο το οποίο την προλόγιζε "Από μαθηματική ολυμπιάδα Αγγλίας"...

Χρήστος Κυριαζής (chris_gatos)

Χρήστο, και στις εθνικές Ολυμπιάδες βάζουν ανάλυση !!! Στη Ρουμανία πχ βάζουν σε όλους τους γύρους, διότι τα θέματα μπαίνουν σε ύλη της κάθε τάξης χωριστά . Το ίδιο και σε πολλές άλλες χώρες . Στην ΙΜΟ βέβαια σπάνια έχει τεθεί με παράγωγο ή ολοκλήρωμα. Αυτό δε σημαίνει ότι οι υποψήφιοι δεν γνωρίζουν ή ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουν ανάλυση. Πολλά θέματα ακροτάτων και ανισοτήτων γενικότερα λύνονται και με ανάλυση. Εδώ μερικοι να σκεφτείς ότι χρησιμοποιούν πολλαπλασιαστές Lagrange !
Η γνώμη μου είναι να ασχοληθείς με τις ολυμπιάδες , σιγά -σιγά βέβαια , διότι είσαι καλός μαθηματικός και θα πρισφέρεις και σε αυτό τον χώρο . Ειδικά αν μπεις στο Δημόσιο σχολείο και έχεις λίγο περισσότερο χώρο , στο συνιστώ ανεπιφύλακτα. Και γω έχω μετανοιώσει που τις ολυμπιάδες τις ανακάλυψα τόσο αργά !
Οι ολυμπιάδες μπορεί να μην έχουν ...ψωμί(σήμερα έχουν !) , αλλά σου προσφέρουν ωραίες στιγμές και σε ολοκληρώνουν ως μαθηματικό.Δεν είναι τυχαίο ότι με αυτές ασχολούνται και κορυφαίοι μαθηματικοί - ερευνητές !
Μπάμπης

( Το προηγούμενο μήνυμα ήταν καθαρά πληροφοριακό - το τόνισα - και δεν υποδείκνυε τίποτα σε κανένα ,πόσο μάλλον σε σένα !. Μπορείς , όπως και όλοι , να βάζεις όποιο θέμα θέλεις σε όποιο χώρο εσύ νομίζεις κατάλληλο.)

[comengdr]

Μπάμπη, δεν υπάρχει καμμία παρεξήγηση. Απλά την έβαλα σ'αυτή τη θέση γιατί ο..αγαπημένος μου αρχικά συγγραφέας
ο Γιάννης ο Μπαιλάκης την είχε προλογίσει έτσι.
Δε μπορείς να φανταστείς πόσο κακό μου έχει κάνει (εδώ δε μιλάω μόνο για μένα,πιστεύω πως εκφράζω πολλούς)
η αβεβαιότητα που μου προσφέρει απλόχερα το επάγγελμά μου,ώστε να ασχοληθώ με πράγματα που θα ήθελα.
Πόσο άσχημα έχω νιώσει για πολλά πράγματα που είμαι αναγκασμένος να υποστώ,ακόμα και για να επιβιώσω.
Πόσο πολύ μ΄έχει ξεστρατήσει απο αυτό που πραγματικά θα ήθελα να είμαι.
Θα παραθέσω ένα στιγμιότυπο, χρήσης της ολυμπιάδας ως μαγκιάς, απο το σεμινάριο της Ε.Μ.Ε. Στον πίνακα, ένας γνωστός ''Ολυμπιακός'' καθηγητής
όπου, αφού σε άλλη παράδοση μας είχε αποκαλέσει φροντιστάκια που τα ξέρουμε όλα, είχε ''σκυλιάσει'' που ότι έβαζε, το απαντούσαμε με ευκολία, λέει χαρακτηριστικά: Τώρα θα ανεβάσω το επίπεδο και θα σας βάλω ένα θέμα που είχα φτιάξει για την ολυμπιάδα τάδε κτλ κτλ, ζητώντας την απάντηση εκείνη τη στιγμή.
Έγώ τον διέκοψα και τον ρώτησα το εξής: Μα καλά, πόσα θέματα βάζουν στις ολυμπιάδες; Πόση ώρα δίνουν για να απαντήσουν;
Ανταπαντώντας μου είπε πως και στο ΑΣΕΠ μπορεί να μου βάλουν τέτοια θέματα και πως δε φταίει εκείνος αν εγώ δε μπορώ να το απαντήσω....
Θέλω να καταλήξω λοιπόν πως δε θέλω να είμαι ρεκορντμάν σε ολυμπιάδες μαθηματικών για να πουλάω ''μαγκιά''
μου αρκεί ήσυχος και χωρίς άγχος να ασχολούμαι με αυτό που αγαπάω πολύ,κάνοντας και το διπλανό μου επίσης να το αγαπήσει πολύ.
Σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια.
Ετσι κι αλλιώς σε εκτιμώ πολύ!
chris_gatos

[Μπάμπης Στεργίου]

Τα λόγια του Χρήστου με βάζουν σε πολλές σκέψεις , αλλά ότι γράφω το απευθύνω σε όλους τους νέους συναδέλφους :
α) Τα μαθηματικά είναι για να εξηγήσουμε τον κόσμο(μέσα σε αυτόν και τον εαυτό μας) και είναι εγληματικό να τα έχουμε ως όπλα για να αφοπλίζουμε ή να υποβιβάσουμε μαθητές ή συναδέλφους μας και τους κανουμε να τα μισήσουν .
β) Οι ασκήσεις των διαγωνισμών, πρέπει να χρησιμοποιούνται μόνο για αφύπνιση και επέκταση των γνώσεων και των δεξιοτήτων και ποτέ ως μέσο εκφοβισμού ή επίδειξης ! Όσοι δεν το έχουν αντιληφθεί αυτό, απομακρύνουν τον κόσμο από τα μαθηματικά και έμμεσα από τον ορθολογισμό.
γ) Τα θέματα των διαγωνισμών είναι για να δίνουν στον καλό δάσκαλο ωραίες προκλήσεις , ώστε να τις βάζει στον πίνακα, να αρχίζει διάλογο , να ερευνά με τους μαθητές του , να τους φανερώνει τη σκέψη του , και να πηγαίνει μαζί με το μαθητή στη λύση. Διαφορετικά τίποτα δεν έχει νόημα !
δ) Συμμερίζομαι την αγωνία και τα αδιέξοδα των νέων συναδέλφων που μπροστά στην τρομερή δυσκολία της επιβίωσης και που στερούνται τη χαρά της αληθινής μαγευτικής ενασχόλησης μα τα μαθηματικά. Να σας πω ότι και γω την ίδια αγωνία είχα για 15 χρόνια(τόσα έκανα για να διοριστώ) . Μπορώ να σας καταλάβω και είμαι μαζί σας σε κάθε προσπάθεια για να γίνει η ζωή του νέου συναδέλφου πιο εύκολη και ευχάριστη.
Αλλά αυτά θα τα κουβεντιάσουμε και σε άλλη ευκαιρία !Μέχρι τότε να είστε αισιόδοξοι και δυνατοί !
Καλή Κυριακή σε όλους !
Μπάμπης