Διανυσματα Fourier

brainhighway · #1

Καλησπερα σας. Μηπως καποιος γνωριζει κατι για τα διανυσματα Fourier και αν ξερει τι σχεση εχουν με την Φυσικη;
Ευχαριστω πολυ προκαταβολικα.

paulgai · #2

Αν θυμάμαι καλά, τα διανύσματα Fourier είναι όρος ισοδύναμος με τους
συντελεστές Fourier μιας συνάρτησης. Αν θυμάμαι καλά λοιπόν,
κάθε συνάρτηση

συνέχεις στο [-L,L]

αναπτύσσεται σε σειρά Fourier ως

$f(x)=\displaystyle\sum_{-\infty }^{\infty }c_{n}e^{\frac{i \pi n x}{L}}$ όπου $c_{n}=\displaystyle\frac{1}{2L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\frac{i \pi n x}{L}} dx$ .

Στη συγκεκριμένη περίπτωση η αριθμήσιμη ακολουθία $\left \{ c_{n} \right \}_{n=-\infty }^{\infty }$ μπορεί
να θεωρηθεί 'απειροδιάστατο' διάνυσμα. Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι κάθε
συνάρτηση στον $L^{2}[a,b]$ μπορεί να γραφτεί σε σειρά Fourier
με τους συντελεστές να αποτελούν τις συντεταγμένες διάνυσματος του πλήρη χώρου Hilbert $L^{2}[a,b]$ .
Στη γενική περίπτωση η σύγκλιση της σειράς γίνετε ως προς την νόρμα του $L^{2}$ .
Οι εφαρμογές είναι τεράστιες, για παράδειγμα όλες οι θεμελιώδεις εξισώσεις της φυσικής
(εξίσωση κύματος, θερμότητας, Schrodinger κ.α.) είναι μερικές διαφορικές που σε
ειδικές συνθήκες λύνονται με χρήση της ανάλυσης Fourier.
Ελπίζω να βοήθησα.

#3

Για μια πιο απλή εξήγηση κοίτα το συνημμἐνο

brainhighway · #4

Καλησπερα,
σας ευχαριστω πολυ για την βοηθεια σας.
Αν και πιστευα ότι η οπτική Fourier ειχε πιο αμεση σχεση με τα ομονυμα διανυσματα, απεδιχθη οτι ειχα λαθος.
Εδω ειναι μια μικρη εισαγωγη για την Οπτικη Fourier.
Η επεξεργασία οπτικών δεδομένων, το φιλτράρισμα χωρικών συχνοτήτων (και επομένως η οπτική επεξεργασία σήματος και εικόνας) και η ολογραφία, βρίσκονται ανάμέσα σ΄ένα μεγάλο πλήθος οπτικών εφαρμογών που συνδέονται άμεσα με ένα βασικό τμήμα της μοντέρνας οπτικής: την οπτική Fourier. Η οπτική Fourier περιγράφει τη διάδοση του φωτός κατά μήκος οπτικών συστημάτων, χρησιμοποιώντας ανάλυση Fourier. Σύμφωνα με τη θεωρία Fourier, κάθε σήμα ή οπτική απεικόνιση μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα άπειρων ημιτονοειδών κυμάτων (συναρτήσεων). Ειδικά στην περίπτωση της οπτικής απεικόνισης, αυτά τα ημιτονοειδή κύματα δεν είναι τίποτε άλλο παρά μεταβολές της φωτεινότητας σ΄όλη την έκταση της εικόνας. Βασικά στοιχεία ενός τέτοιου κύματος είναι η χωρική συχνότητα, το πλάτος και η φάση. Η χωρική συχνότητα είναι η συχνότητα του κύματος κατά τη διάδοσή του στο χώρο. Το πλάτος αντιστοιχεί στην αντίθεση ή διαφορά μεταξύ των ακραίων τιμών σκοτεινού – φωτεινού της εικόνας, ενώ η φάση περιγράφει τη μετατόπιση της θέσης του κύματος, σε σχέση με την αρχική. Η λειτουργία επομένως ενός οπτικού συστήματος απεικόνισης συνίσταται στην κωδικοποίηση των παραπάνω παραμέτρων και τη μεταφορά τους (μέσω του οπτικού κύματος που διαμορφώνουν) σ΄ ένα επίπεδο απεικόνισης (επίπεδο Fourier ή επίπεδο συχνοτήτων). Το παραπάνω πραγματοποιείται με τη βοήθεια μετασχηματισμών Fourier.
Καλο βραδυ

paulgai · #5

Μεγάλο κεφάλαιο άνοιξες φίλε brainhighway! Εφαρμογή της ανάλυσης Fourier
στην επεξεργασία εικόνας! Πράγματι, μία από τις πιο ενδιαφέρουσες
εφαρμογές της θεωρίας. Επειδή τυχαίνει να ασχολούμαι ερασιτεχνικά
με την αστρο-φωτογράφηση και κατ' επέκταση με τη μαθηματική
επεξεργασία εικόνας, έχω συναντήσει τις εξαιρετικές δυνατότητες της
συγκεκριμένης θεωρίας σε αυτό τον τομέα. Ο μετασχηματισμός Fourier
είναι μία 'επέκταση', κατά κάποιον τρόπο, της παραπάνω ανάλυσης μίας

σε
σειρά Fourier. Ποίο συγκεκριμένα αν πάρεις $L\to\infty$ τότε το άθροισμα γίνεται
ολοκλήρωμα και έχουμε:

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \pi}\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty } \widehat{f}(\xi )e^{i \xi x}d\xi$

όπου $\widehat{f}(\xi )$ ο μετασχηματισμός Fourier της

που δίνεται από την

$\widehat{f}(\xi )=\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty } f(x)e^{-i \xi x}dx.$

Στην περίπτωση της εικόνας χρησιμοποιούμε δισδιάστατο διακριτό
μετασχηματισμό Fourier για τον οποίον υπάρχει ένας γρήγορος αλγόριθμος
γνωστός ως FFT (fast Fourier Transform) που μας δίνει το φάσμα συχνοτήτων
από το οποίο μπορούμε να φιλτράρουμε τις μεγάλες ή μικρές συχνότητες,
να κάνουμε convolution ή deconvolution κ.λ.π. Μερικά από τα πιο θεαματικά,
κατά την γνώμη μου, αποτελέσματα των παραπάνω έχει δώσει ο καθηγητής
μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Τσεχίας Miloslav Druckmüller. Αυτός
επεξεργάζεται φωτογραφίες του ηλιακού στέμματος που τραβήχτηκαν κατά
τη διάρκεια ολικών ηλιακών εκλείψεων. Έχει καταφέρει χρησιμοποιώντας τις παραπάνω
τεχνικές (και όχι μόνο) να βγάλει τις καλύτερες φωτογραφίες του ηλιακού
στέμματος στον κόσμο! Αυτή είναι μία φωτογραφία από frames που τράβηξε
ο φίλος μου Κώστας Εμμανουηλίδης όπως τα επεξεργάστηκε ο Miloslav.
Ήταν από την έκλειψη που έγινε στη Ρωσία στο Novosibirsk στης 01. 08. 2008

#6

Απίστευτη!!!!!! Σαν να είναι κανείς δίπλα!!!!

brainhighway · #7

Τελικα ειναι αληθεια οτι η Οπτικη ειναι μια πολυ συναρπαστικη επιστημη. Οσο πιο πολυ την μαθαινω τοσο πιο πολυ σε μαγνητιζει. Αν και δεν μ'αρεσει η κατεργασια των οφθαλμικων φακων η Οπτοηλεκτρονικη & Laser και οι εφαρμογες τouς ειναι τοσο πολλες που μπορεις να εξειδεικευτεις σε κατι νεο.

brainhighway · #8

paulgai έγραψε:Μεγάλο κεφάλαιο άνοιξες φίλε brainhighway! Εφαρμογή της ανάλυσης Fourier
στην επεξεργασία εικόνας! Πράγματι, μία από τις πιο ενδιαφέρουσες
εφαρμογές της θεωρίας. Επειδή τυχαίνει να ασχολούμαι ερασιτεχνικά
με την αστρο-φωτογράφηση και κατ' επέκταση με τη μαθηματική
επεξεργασία εικόνας, έχω συναντήσει τις εξαιρετικές δυνατότητες της
συγκεκριμένης θεωρίας σε αυτό τον τομέα. Ο μετασχηματισμός Fourier
είναι μία 'επέκταση', κατά κάποιον τρόπο, της παραπάνω ανάλυσης μίας σε
σειρά Fourier. Ποίο συγκεκριμένα αν πάρεις $L\to\infty$ τότε το άθροισμα γίνεται
ολοκλήρωμα και έχουμε:

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2 \pi}\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty } \widehat{f}(\xi )e^{i \xi x}d\xi$

όπου $\widehat{f}(\xi )$ ο μετασχηματισμός Fourier της που δίνεται από την

$\widehat{f}(\xi )=\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty } f(x)e^{-i \xi x}dx.$

Στην περίπτωση της εικόνας χρησιμοποιούμε δισδιάστατο διακριτό
μετασχηματισμό Fourier για τον οποίον υπάρχει ένας γρήγορος αλγόριθμος
γνωστός ως FFT (fast Fourier Transform) που μας δίνει το φάσμα συχνοτήτων
από το οποίο μπορούμε να φιλτράρουμε τις μεγάλες ή μικρές συχνότητες,
να κάνουμε convolution ή deconvolution κ.λ.π. Μερικά από τα πιο θεαματικά,
κατά την γνώμη μου, αποτελέσματα των παραπάνω έχει δώσει ο καθηγητής
μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Τσεχίας Miloslav Druckmüller. Αυτός
επεξεργάζεται φωτογραφίες του ηλιακού στέμματος που τραβήχτηκαν κατά
τη διάρκεια ολικών ηλιακών εκλείψεων. Έχει καταφέρει χρησιμοποιώντας τις παραπάνω
τεχνικές (και όχι μόνο) να βγάλει τις καλύτερες φωτογραφίες του ηλιακού
στέμματος στον κόσμο! Αυτή είναι μία φωτογραφία από frames που τράβηξε
ο φίλος μου Κώστας Εμμανουηλίδης όπως τα επεξεργάστηκε ο Miloslav.
Ήταν από την έκλειψη που έγινε στη Ρωσία στο Novosibirsk στης 01. 08. 2008

Αγαπητε paulgai, επειδη θελω να ασχοληθω λιγο παραπανω με την Οπτικη Fourier μηπως ξερεις καποια συγγραμματα για να ασχοληθω περαιτερο (στην αγγλικη γλωσσα);;;
Καλα Χριστουγεννα

Διανυσματα Fourier

Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Re: Διανυσματα Fourier

Μέλη σε σύνδεση