Μέγιστη σταθερά

#1

Να υπολογισθεί η μέγιστη σταθερά

για την οποία ισχύει η ανισότητα

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)+4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq k(a+b+c)^2$

για τυχόντες θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c

.

[Πηγή: Crux Mathematicorum, problem 3326 (b)*, 2008]

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Επαναφορά.

#3

Τελευταία επαναφορά -- last call!

G.Bas · #4

Αν αποδείξουμε πως $\displaystyle{9(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq 8(a+b+c)^2}$ τότε νομίζω πως έχω λύση. Δεν έχω απόδειξη για αυτή όμως, είναι κάτι σαν εικασία. Ισχύει;

#5

G.Bas έγραψε:Αν αποδείξουμε πως $\displaystyle{9(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq 8(a+b+c)^2}$ τότε νομίζω πως έχω λύση. Δεν έχω απόδειξη για αυτή όμως, είναι κάτι σαν εικασία. Ισχύει;

Γιώργο γεια σου και καλή χρονιά, η βοηθητική ανισότητα δεν ισχύει για τυχόντες θετικούς, πχ αν $a=b=c=\displaystyle\frac{1}{2}$ τότε $\displaystyle\frac{1125}{64}<18$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

: mink.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Τα χθεσινά γενέθλια του φίλου Γιώργου Αποστολόπουλου (ΦΒ) μου θύμισαν το παρόν ... που είναι τελικά λίγο δυσκολότερο απ' όσο νόμισα πριν πέντε (!) σχεδόν χρόνια

Τέλος πάντων, παραθέτω την λύση μου...

Για τυχόν k θεωρώ την συνάρτηση τριών μεταβλητών

g(a,b,c)=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)+4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)-k(a+b+c)^2,

και αναζητώ τα στάσιμα σημεία της:

Ο μηδενισμός των τριών μερικών παραγώγων οδηγεί στην τριπλή ισότητα

2a(b^2+2)(c^2+2)+8a(b^2+1)(c^2+1)=

Εύκολα βλέπουμε -- παραλείπω κάποιες λεπτομέρειες -- ότι, αν δεν ισχύει είτε η a=b=c

είτε μία από τις $a\neq b=c$ , $b\neq a=c$ , $c\neq a=b$ , τότε ισχύουν δύο τουλάχιστον εκ των

$ab=\dfrac{6c^2+8}{5c^2+6}, bc=\dfrac{6a^2+8}{5a^2+6}, ca=\dfrac{6b^2+8}{5b^2+6}.$

Αν πχ ισχύουν οι δύο τελευταίες ισότητες, με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει η προφανώς αδύνατη 15a^2b^2-2ab+18a^2+18b^2+24=0

, άτοπο. Άρα, για το τυχόν στάσιμο σημείο ( a, b, c)

ισχύει είτε η a=b=c

είτε μία από τις $a\neq b=c$ , $b\neq a=c$ , $c\neq a=b$ .

Αρκεί τώρα να δούμε για ποια

ισχύει η $g(a,b,c)\geq 0$ στα στάσιμα και στα συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού $a\geq 0$ , $b\geq 0$ , $c\geq 0$ . Για συνοριακά σημεία του τύπου b=c=0

είναι προφανής η $4(a^2+2)+4(a^2+1)\geq 8a^2$ , ενώ για συνοριακά σημεία του τύπου c=0

είναι άμεση η $2(a^2+2)(b^2+2)+4(a^2+1)(b^2+1)\geq 8(a+b)^2$ . Για στάσιμα σημεία του τύπου (Ι) a=b=c

(ΙΙ) $a\neq b=c$ προκύπτουν οι αντίστοιχες ανισότητες

(Ι) $\dfrac{(a^2+2)^3+4(a^2+1)^3}{9a^2}\geq 6,24347$

(II) $\dfrac{(a^2+2)(b^2+2)^2+4(a^2+1)(b^2+1)^2}{(a+2b)^2}\geq 6,85349$

Αρχίζω με την (Ι): θέτοντας y=a^2

ελαχιστοποιούμε την $f(y)=\dfrac{(y+2)^3+4(y+1)^3}{9y}$ μέσω της f'(y)=0

, που είναι ισοδύναμη προς την 5y^3+9y^2-6=0

, που έχει δύο μιγαδικές ρίζες και μία πραγματική ρίζα γύρω στο 0,6937

... που δίνει ένα ελάχιστο λίγο μεγαλύτερο του 6,24347

. (Βλέπετε συνημμένο για τις ακριβείς τιμές

)

H (II) θέλει περισσότερη δουλειά... Θεωρούμε την f(a,b)=(a^2+2)(b^2+2)^2+4(a^2+1)(b^2+1)^2-k(a+2b)^2

, και αναζητούμε τα στάσιμα σημεία της μέσω μηδενισμού των μερικών παραγώγων, που οδηγεί στην ισότητα

[(b^2+2)(2-ab)+4(b^2+1)(1-ab)](a-b)=0,

και, λόγω της υποτεθείσης $a\neq b$ , στην $a=\dfrac{6b^2+8}{5b^3+6b}$ .

Με αντικατάσταση της παραπάνω σχέσης στάσιμου σημείου στην ζητούμενη $f(a,b)\geq 0$ βλέπουμε ότι αναζητούμε πλέον το μέγιστο k για το οποίο θα ισχύει η

$\dfrac{\left((6b^2+8)^2+2(5b^3+6b)^2\right)(b^2+2)^2+4\left((6b^2+8)^2+(5b^3+6b)^2\right)(b^2+1)^2}{(10b^4+18b^2+8)^2}\geq k,$

ή επί το απλούστερον την ελάχιστη τιμή του παραπάνω πηλίκου για $b\geq 0$ , και το WolframAlpha δείχνει ότι αυτό είναι ελάχιστα μεγαλύτερο του 6,85349

. (Βλέπετε συνημμένο για τις ακριβείς τιμές

)

[Για μία λύση του αρχικού προβλήματος (Crux Mathematicorum 3326 b*) 'με το χέρι' παρατηρούμε ότι αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα (ΙΙ) για κάποιο k μικρότερο του 6,85349

αλλά μεγαλύτερο του 6,24347

... αφού ούτως ή άλλως η ελάχιστη μεταξύ των δύο σταθερών είναι η απάντηση στο αρχικό πρόβλημα: και, πράγματι, αυτό γίνεται εύκολα για k=6,5

, καθώς η ζητούμενη ανισότητα ανάγεται στην προφανώς ισχύουσα $150x^{10}+290x^8+48x^6-90x^4+96x^2+96>0$ . (Βεβαίως ... για να είναι όντως 'με το χέρι' η λύση μας ... οφείλουμε να υποθέσουμε ότι μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια 5y^3+9y^2-6=0

'με το χέρι'

)]

#7

To ωραίο είναι ότι η ανισότητα (ΙΙ), ακριβέστερα αυτή που την συνεπάγεται, δηλαδή η ανισότητα

$\dfrac{\left((6b^2+8)^2+2(5b^3+6b)^2\right)(b^2+2)^2+4\left((6b^2+8)^2+(5b^3+6b)^2\right)(b^2+1)^2}{(10b^4+18b^2+8)^2}\geq 6,85349,$

ανάγεται και αυτή σε επίλυση τριτοβάθμιας, καθώς η παράγωγος του αριστερού σκέλους ισούται προς

$\dfrac{b(15b^6+54b^4+66b^2+28)(25b^6+45b^4-6b^2-24)}{(5b^4+9b^2+4)^3}!$

...Δεν ξέρω πόσο 'τυχαία' είναι η παραγοντοποίηση του αριθμητή ... που έγινε στο WolframAlpha, εννοείται

Μέγιστη σταθερά

Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Re: Μέγιστη σταθερά

Μέλη σε σύνδεση