Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

#1

Στην προχθεσινή ανακοίνωση τους "Γενίκευση του Θεωρήματος Steiner-Lehmus" -- και σε συνεδρία (της 10ης Μαθηματικής Εβδομάδας που έληξε σήμερα) όπου είχα την τύχη να (συμ)προεδρεύω -- οι φίλοι Κώστας Δόρτσιος και Γιώργος Τσίντσιφας προσδιόρισαν ένα υποσύνολο του γεωμετρικού τόπου των σημείων

(εντός τυχόντος τριγώνου) με την εξής ιδιότητα: αν δύο σεβιανές διερχόμενες δια του

είναι ίσες τότε είναι ίσες και οι ομόλογες πλευρές. Το υποσύνολο G_0

των Δόρτσιου-Τσίντσιφα είναι ένα χωρίο που περικλείεται από την βάση και την μεσοκάθετο της και μία υπερβολή διερχόμενη δια μιας εκ των δύο κορυφών που αντιστοιχούν στις δύο σεβιανές και δια της τρίτης κορυφής^ γενικεύοντας προηγούμενα αποτελέσματα άλλων ερευνητών, οι Τσίντσιφας και Δόρτσιος αποδεικνύουν ότι το G_0

περιέχει την διχοτόμο, την διάμεσο, και την συμμετροδιάμεσο.

Στην παρούσα δημοσίευση προσδιορίζω, αναλυτικώς και επακριβώς, τα σημεία που ΔΕΝ ανήκουν στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο: τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια καμπύλη που διέρχεται (και) από το εσωτερικό του τριγώνου^ η καμπύλη αυτή εικονίζεται στο συνημμένο για την περίπτωση του μη ισοσκελούς τριγώνου με κορυφές (-1,0)

,

, και ένα συγκεκριμένο παράδειγμα ίσων σεβιανών (με μήκος περίπου 1,72

) δίνεται για το σημείο $S\approx(0,6, 0,253)$ . [ΔΕΝ έχω προσπαθήσει να αποδείξω ότι σε κάθε τρίγωνο η 'καμπύλη των ίσων σεβιανών' περνάει μέσα από το εσωτερικό του, ούτε να εξετάσω αν μπορεί να διέρχεται από αυτό πάνω από μία φορά, κλπ κλπ]

Παραλείποντας υπολογιστικές λεπτομέρειες, θέτω A_1=(-a,0)

,

, και υπολογίζω -- μέσω εξισώσεων ευθειών και πολύ απλών συστημάτων -- τις συντεταγμένες των σημείων

,

, όπου $E=A_1S\cap A_2K$ και $Z=A_2S\cap A_1K$ :

$E=\displaystyle\left(\dfrac{a(ac-aq+bq+cp)}{ac+aq-bq+cp},\dfrac{2acq}{ac+aq-bq+cp}\right),$

$Z=\displaystyle\left(\dfrac{a(-ac+aq+bq-cp)}{ac+aq+bq-cp},\dfrac{2acq}{ac+aq+bq-cp}\right).$

Με λίγο περισσότερο κόπο υπολογίζονται τώρα τα μήκη των σεβιανών (και τα τετράγωνα τους):

$|A_1E|^2=\displaystyle\dfrac{4a^2c^2(a+p)^2+4a^2c^2q^2}{(ac+aq+cp-bq)^2},$

$|A_2Z|^2=\displaystyle\dfrac{4a^2c^2(a-p)^2+4a^2c^2q^2}{(ac+aq-cp+bq)^2}.$

Η ισότητα των μηκών των δύο σεβιανών αποδεικνύεται -- και πάλι με το χέρι αν υπάρχει τάξη και ψυχραιμία -- ισοδύναμη προς την εξίσωση

(a^2+p^2+q^2)(c+q)(bq-cp)+a^2p(c+q)^2+p(bq-cp)^2=0,

οπότε, για a=1

,

, λαμβάνουμε την 'καμπύλη των ίσων σεβιανών' που εικονίζεται (WolframAlpha) στο συνημμένο, και για p=0,6

λαμβάνουμε επιλύοντας (WolframAlpha) $q\approx0,253$ και το παράδειγμα (ίσων σεβιανών προς άνισες πλευρές) που παρέθεσα παραπάνω.

: anti-cevian.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 3734 φορές

#2

Είχε κέφια ο Θεός όταν έφτιαχνε την καμπύλη των ίσων σεβιανών:

: αυτοτομή.png (27.03 KiB) Προβλήθηκε 3683 φορές

#3

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 29, 2018 6:06 pm
οι Τσίντσιφας και Δόρτσιος αποδεικνύουν ότι το περιέχει την διχοτόμο, την διάμεσο, και την συμμετροδιάμεσο.

Γιώργο, γράφω πολύ κουρασμένος γιατί ήλθα σήμερα στον Βόλο με ΚΤΕΛ από Θεσσαλονίκη και έκανα αρκετές ώρες ομιλίες σε παιδιά και συναδέλφους. Μόις τώρα μπήκα στο Ξενοδοχείο.

Δυστυχώς δεν άκουσα την ομιλία του Γιώργου και του Κώστα αλλά από μνήμης γράφω ότι πολλά χρόνια πριν είχα δείξει ότι
α) Αν δύο σεβιανές που τέμνονται επί της διχοτόμου ή της διαμέσου ή της συμμετροδιαμέσου από την κορυφή είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές (με ίσες τις ομόλογες πλευρές).
β) Πέρα από τις τρεις αυτές στο α), καμία άλλη σεβιανή από την κορυφή δεν έχει την ιδιότητα στο α).

Η απόδειξη ήταν με Αναλυτική Γεωμετρία. Το κλειδί ήταν μία τριτοβάθμια καμπύλη που εμφανιζόταν, από την οποία έβγαινε ότι μόνο τρεις σεβιανές από την κορυφή έχουν την ιδιότητα να βγαίνει το τρίγωνο ισοσκελές. Μετά έπρεπε να προσδιορίσεις τις τρεις αυτές, αλλά αυτό ήταν απλό για την διάμεσο και την διχοτόμο. Έμενε να αναγνωρίσεις την τρίτη, πράγμα λιγότερο προφανές αλλά αποδεικνυόταν ότι είναι η συμμετροδιάμσος.

Νομίζω ότι πρόκειται για το ίδιο ή παρεμφερές αποτέλεσμα. Δεν το βλέπω τώρα λόγω κούρασης, αλλά θα το ψάξω σύντομα. Πάντως όχι αύριο γιατί έχω πάλι πολλές ομιλίες, συν ΚΤΕΛ Βόλο-Αθήνα συν αεροπλάνο Αθήνα-Ηράκλειο, και φτάνω σπίτι μου περί τα μεσάνυκτα.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 30, 2018 12:54 am

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 29, 2018 6:06 pm
οι Τσίντσιφας και Δόρτσιος αποδεικνύουν ότι το περιέχει την διχοτόμο, την διάμεσο, και την συμμετροδιάμεσο.
Γιώργο, γράφω πολύ κουρασμένος γιατί ήλθα σήμερα στον Βόλο με ΚΤΕΛ από Θεσσαλονίκη και έκανα αρκετές ώρες ομιλίες σε παιδιά και συναδέλφους. Μόις τώρα μπήκα στο Ξενοδοχείο.

Δυστυχώς δεν άκουσα την ομιλία του Γιώργου και του Κώστα αλλά από μνήμης γράφω ότι πολλά χρόνια πριν είχα δείξει ότι
α) Αν δύο σεβιανές που τέμνονται επί της διχοτόμου ή της διαμέσου ή της συμμετροδιαμέσου από την κορυφή είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές (με ίσες τις ομόλογες πλευρές).
β) Πέρα από τις τρεις αυτές στο α), καμία άλλη σεβιανή από την κορυφή δεν έχει την ιδιότητα στο α).

Η απόδειξη ήταν με Αναλυτική Γεωμετρία. Το κλειδί ήταν μία τριτοβάθμια καμπύλη που εμφανιζόταν, από την οποία έβγαινε ότι μόνο τρεις σεβιανές από την κορυφή έχουν την ιδιότητα να βγαίνει το τρίγωνο ισοσκελές. Μετά έπρεπε να προσδιορίσεις τις τρεις αυτές, αλλά αυτό ήταν απλό για την διάμεσο και την διχοτόμο. Έμενε να αναγνωρίσεις την τρίτη, πράγμα λιγότερο προφανές αλλά αποδεικνυόταν ότι είναι η συμμετροδιάμσος.

Νομίζω ότι πρόκειται για το ίδιο ή παρεμφερές αποτέλεσμα. Δεν το βλέπω τώρα λόγω κούρασης, αλλά θα το ψάξω σύντομα. Πάντως όχι αύριο γιατί έχω πάλι πολλές ομιλίες, συν ΚΤΕΛ Βόλο-Αθήνα συν αεροπλάνο Αθήνα-Ηράκλειο, και φτάνω σπίτι μου περί τα μεσάνυκτα.

Μιχάλη το αποτέλεσμα (Β) που αναφέρεις παραπάνω, όπως το θυμάσαι τουλάχιστον, έρχεται σε αντίφαση τόσο με το δικό μου όσο και με αυτό των Δόρτσιου-Τσίντσιφα! Πράγματι, οι μεν Τσίντσιφας και Δόρτσιος καθορίζουν ένα χωρίο ευρύτερο του τριγώνου που ορίζεται από την συμμετροδιάμεσο, την διάμεσο, και την βάση του τριγώνου (και που βέβαια περιλαμβάνει άπειρες σεβιανές με την επιθυμητή ιδιότητα)*, εγώ δε καθορίζω ένα πολύ ευρύτερο χωρίο**.

*το πολύ ενδιαφέρον είναι ότι στο χωρίο των Δόρτσιου και Τσίντσιφα όντως δεν υπάρχουν σεβιανές 'αριστερά' της συμμετροδιαμέσου και 'δεξιά' της διαμέσου, καθώς το μεν 'αριστερό' σύνορο είναι ο 'αριστερός' κλάδος ισοσκελούς υπερβολής που διέρχεται από την τρίτη κορυφή, εφαπτόμενη εκεί της συμμετροδιαμέσου, το δε 'δεξιό' σύνορο είναι η μεσοκάθετος της βάσης!

**έχω στην πραγματικότητα καθορίσει, για κάθε τρίγωνο, τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, εντός ή εκτός του τριγώνου, που δίνουν ίσες σεβιανές (προς ενδεχομένως άνισες πλευρές): ο τόπος αυτός είναι μία καμπύλη τετάρτου βαθμού (καμπύλη των ίσων σεβιανών). Όλο το υπόλοιπο επίπεδο έχει την επιθυμητή ιδιότητα ... σύμφωνα και με την λογική ισοδυναμία $(\Sigma \Rightarrow \Pi )\Leftrightarrow [\not \Sigma \vee (\Sigma \wedge \Pi )]$ , όπου $\Sigma$ = "ίσες σεβιανές" και $\Pi$ = "ίσες πλευρές". [Για παράδειγμα, στην περίπτωση του ισοσκελούς τριγώνου με κορυφές (-a,0)

,

η καμπύλη των ίσων σεβιανών 'εκφυλίζεται' στην pq[cp^2+cq^2+(c^2-a^2)q-a^2c]=0

, δηλαδή στις ευθείες ύψους (Lehmus-Steiner κ.α.) και βάσης (τετριμμένα) ΚΑΙ σε έναν κύκλο ... που οι γεωμετρικότερα σκεπτόμενοι ίσως ήδη γνωρίζουν

]

Al.Koutsouridis · #5

Το αποτέλσμα (β) και εγώ νομίζω ότι δεν ισχύει, πιθανόν όμως να μην έχω καταλάβει καλά την υπόθεση στο (α).

Τα παραπάνω γιατί ισχύει το εξής:

Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, αν και μόνο αν δυο "αντιδιχοτόμοι" του είναι ίσες.

Όπου οι αντιδιχοτόμοι ορίζονται ως τα ισοτομικά τμήματα των διχοτόμων.

Edit: το παραπάνω αρχικό μήνυμα να μην ληφθεί υπόψη λόγω εσφαλμένης αρχικής κατανόησης της υπόθεσης στο (α).

#6

Γειά σας και καλό μήνα!

Επειδή η κουβέντα ξεκίνησε με αφορμή την εργασία που

παρουσιάσαμε στη10η Μαθηματική Εβδομάδα εγώ και

ο Γιώργος ο Τσίντσιφας αναρτούμε το κείμενο αυτής σε pdf.

Θα ακολουθήσει κι άλλο μήνυμα.

Γενίκευση του θεωρήματος Steiner-Lehmus.pdf: (620.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 112 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#7

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 30, 2018 2:14 pm
[Για παράδειγμα, στην περίπτωση του ισοσκελούς τριγώνου με κορυφές , , η καμπύλη των ίσων σεβιανών 'εκφυλίζεται' στην , δηλαδή στις ευθείες ύψους (Lehmus-Steiner κ.α.) και βάσης (τετριμμένα) ΚΑΙ σε έναν κύκλο ... που οι γεωμετρικότερα σκεπτόμενοι ίσως ήδη γνωρίζουν ]

Ο παραπάνω κύκλος, αλλά και η καμπύλη των ίσων σεβιανών, αναφέρονται και εδώ.

#8

Γιώργο καλησπέρα!

Το σχήμα που έκανες είναι πράγματι αυτό που κάθε σημείο της καμπύλης αυτής έχει την ιδιότητα
οι cevians που άγονται να είναι ίσες.
Εδώ πρέπει να αναφέρω ότι στην παρουσίαση ήταν και ο εξαιρετικός συνάδελφος, ο Νίκος ο Δεργιαδές
ο οποίος την επομένη, μου έφερε σχήματα που μιλούν για τις καμπύλες αυτές. Ο Νίκος τις δούλεψε με
βαρυκεντρικές συντεταγμένες και με λογισμικό Matlab.
Στο τωρινό μήνυμα θα παρουσιάσω κι από τη δική μου σκοπιά και εργασία το ενδιαφέρον των
καμπυλών αυτών, δουλεύοντας στο ggb.

Δουλεύοντας με καρτεσιανές συντεταγμένες και καταλήγοντας όπως κι εσύ σε μια πεπλεγμένη καμπύλη
τετάρτου βαθμού οδηγείται κανείς στο ακόλουθο σχήμα:

: Cevians 1.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 3506 φορές

Όπως παρατηρεί κανείς η καμπύλη αυτή αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο είναι το "καμπύλο" μέρος
της και το δεύτερο "ευθύ" μέρος δηλαδή ευθεία.
Όποιο σημείο $\displaystyle{M}$ κι αν λάβουμε πάνω σ' αυτήν οι cevians $\displaystyle{BB_o=CC_o}$ , που αντιστοιχούν είναι ίσες. Είτε στο "καμπύλο"
είτε στο "ευθύ", όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Cevians2.png (23.51 KiB) Προβλήθηκε 3506 φορές

Αν εργαστούμε παρόμοια για τις καμπύλες που αντιστοιχούν στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , τότε θα
καταλήξουμε στο ακόλουθο σχήμα:

: Cevians3.png (44.75 KiB) Προβλήθηκε 3506 φορές

Παρατηρούμε στο σχήμα αυτό ότι τα "καμπύλα" μέρη τέμνονται σε δύο σημεία τα $\displaystyle{F_1,F_2}$ , τα οποία είναι οι εστίες
της λεγόμενης "έλλειψης Steiner" που είναι περιγεγραμμένη στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ .
Προφανώς οι έξι cevians που άγονται από τα σημεία αυτά στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ίσες.

Ακόμα στο σχήμα αυτό υπάρχουν κι άλλα τρία σημεία που δεν τα σημείωσα και τα οποία είναι
σημεία τομής των τριών αυτών καμπυλών(δύο "καμπύλα" κι ένα "ευθύ" κάθε φορά), με την ίδια ακριβώς
ιδιότητα σχετικά με τις cevians.

Για την έλλειψη Steiner θα γίνει λόγος σε επόμενο μήνυμα...

Κώστας Δόρτσιος

#9

Πολύ ενδιαφέροντα όλα αυτά, αγαπητέ Κώστα! Αναρωτιόμουν και εγώ τι γίνεται με τις τομές των τριών καμπύλων ίσων σεβιανών, βλέπω και εδώ ότι τα θέματα αυτά μάλλον (;) δεν ήταν γνωστά προ πενταετίας! Είναι για μένα προφανές τι συμβαίνει με τις 4 (και όχι 3) τομές ενός ευθέος και δύο καμπύλων τμημάτων ισοσεβιανών, όχι όμως και γιατί οι δύο τριάδες ίσων σεβιανών που αντιστοιχούν σε τομές τριών καμπύλων τμημάτων ισοσεβιανών (τις εστίες δηλαδή της έλλειψης Steiner (Steiner circumellipse), γνωστές και ως σημεία Bickart) μάς δίνουν μία εξάδα ίσων τμημάτων (και όχι απλώς δύο τριάδες ίσων τμημάτων).

#10

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 4:59 pm
Πολύ ενδιαφέροντα όλα αυτά, αγαπητέ Κώστα! Αναρωτιόμουν και εγώ τι γίνεται με τις τομές των τριών καμπύλων ίσων σεβιανών, βλέπω και εδώ ότι τα θέματα αυτά μάλλον (;) δεν ήταν γνωστά προ πενταετίας! Είναι για μένα προφανές τι συμβαίνει με τις 4 (και όχι 3) τομές ενός ευθέος και δύο καμπύλων τμημάτων ισοσεβιανών, όχι όμως και γιατί οι δύο τριάδες ίσων σεβιανών που αντιστοιχούν σε τομές τριών καμπύλων τμημάτων ισοσεβιανών (τις εστίες δηλαδή της έλλειψης Steiner (Steiner circumellipse), γνωστές και ως σημεία Bickart) μάς δίνουν μία εξάδα ίσων τμημάτων (και όχι απλώς δύο τριάδες ίσων τμημάτων).

Γιώργο καλησπέρα!

Τα σημεία Bickart που είναι οι εστίες της περιγεγραμμένης έλλειψης του Steiner, είναι τα σημεία τομής των
τριών "καμπύλων" τμημάτων των καμπυλών που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο μήνυμα, κατά συνέπεια οι έξι cevians που άγονται προς το τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ , είναι ίσες. Δηλαδή:
$\displaystyle{AA_1=BB_1=CC_1=AA_2=BB_2=CC_2}$ .
Αυτό φαίνεται και στο ακριβές σχήμα που αναρτώ:

: Cevians 4.png (43.71 KiB) Προβλήθηκε 3425 φορές

Με δυσκόλεψε το σχήμα αυτό γιατί χρησιμοποίησα μιγαδικούς αριθμούς για τον ορισμό
των κορυφών του τριγώνου και κατάφερα να λύσω με το CAS του λογισμικού Geogebra
εξίσωση με μιγαδικούς συντελεστές ώστε να βρώ τις εστίες της έλλειψης αυτής.

Θα ακολουθησει συνέχεια...

Κώστας Δόρτσιος

#11

Κώστα σ' ευχαριστούμε για το θεαματικό παράδειγμα ισότητας των 6 σεβιανών που παρέθεσες: δεν μπορεί να είναι τυχαία η ισότητα των σεβιανών που αντιστοιχούν στις εστίες της έλλειψης Steiner, υπάρχει σίγουρα ένα θεώρημα εδώ, του οποίου όμως δεν βλέπω την απόδειξη! (Σημειώνω εδώ ότι η ιδιότητα αυτή των δύο εστιών, των σημείων Bickart όπως είναι γνωστότερες, δεν φαίνεται να είναι γνωστή: στο σχετικό άρθρο Bickart Points, για παράδειγμα, δεν γίνεται καν λόγος για σεβιανές! Παρομοίως ... δεν υπάρχει καμία αναφορά σε σεβιανές στο σχετικό άρθρο Steiner Circumellipse!)

[Είμαστε λοιπόν σχεδόν υποχρεωμένοι να συμπεράνουμε ότι η σύνδεση ανάμεσα στην έλλειψη Steiner και στις ισοσεβιανές γίνεται πράγματι για πρώτη φορά στο άρθρο των Sadi Abu-Saymeh, Mowaffaq Hajja, και Hellmuth Stachel "Equicevian Points of a Triangle" (American Mathematical Monthly, Δεκέμβριος 2015, σελ. 995-1000), στο οποίο ήδη αναφέρθηκα και το οποίο υπάρχει ελεύθερο εδώ. Οι συγγραφείς χρησιμοποιούν ως άξονες συντεταγμένων τους άξονες της έλλειψης Steiner, και αυτό διευκολύνει την απόδειξη ότι οι 6 σεβιανές έχουν όλες μήκος ίσο προς τα 3/2 του μεγάλου άξονα της έλλειψης Steiner! (Παραθέτουν πάντως και Ευκλείδεια απόδειξη για την ισότητα των 6 σεβιανών ... που δεν έχω κατανοήσει ακόμη.)]

Μία άλλη απορία: υπάρχει κάποια 'απλή' (Ευκλείδεια) δικαιολόγηση του γεγονότος ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία Bickart;

...Επιστρέφοντας στην Αναλυτική και στην αρχική μου προσέγγιση ... παραθέτω, για λόγους πληρότητας της συζήτησης μας, το μήκος της τρίτης σεβιανής

διερχόμενης δια σημείου S=(p, q)

και της τρίτης κορυφής K=(b, c)

τριγώνου με κορυφές (-a, 0)

,

:

$|KH|^2=\dfrac{c^2[(b-p)^2+(c-q)^2]}{(c-q)^2}.$

#12

Η έλλειψη Steiner -- ακριβέστερα, η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner circumellipse) -- ενός τριγώνου είναι η μία και μοναδική έλλειψη που διέρχεται από τις τρεις κορυφές έχοντας ως κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου. Για το τρίγωνο με κορυφές (-a, 0)

,

που χρησιμοποίησα σ' αυτήν την συζήτηση η εξίσωση της έλλειψης Steiner είναι

$x^2+\left(\dfrac{3a^2+b^2}{c^2}\right)y^2-\dfrac{2b}{c}xy-\dfrac{2a^2}{c}y=a^2.$

[Καίριο ρόλο στην εύρεση της εξίσωσης παίζει η 'βαρυκεντρική' παρατήρηση ότι το τυχόν σημείο (x, y)

ανήκει στην έλλειψη αν και μόνον αν ανήκει στην έλλειψη το σημείο $\left(\dfrac{2b}{3}-x, \dfrac{2c}{3}-y\right)$ , οπότε η αφαίρεση της μιας εξίσωσης από την άλλη κατά μέλη και ο μηδενισμός των συντελεστών των

,

που προκύπτουν μας δίνουν τις 'επιπλέον' εξισώσεις που χρειαζόμαστε.]

#13

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 07, 2018 1:40 pm
Η έλλειψη Steiner -- ακριβέστερα, η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner circumellipse) -- ενός τριγώνου είναι η μία και μοναδική έλλειψη που διέρχεται από τις τρεις κορυφές έχοντας ως κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου. Για το τρίγωνο με κορυφές , , που χρησιμοποίησα σ' αυτήν την συζήτηση η εξίσωση της έλλειψης Steiner είναι

$x^2+\left(\dfrac{3a^2+b^2}{c^2}\right)y^2-\dfrac{2b}{c}xy-\dfrac{2a^2}{c}y=a^2.$

[Καίριο ρόλο στην εύρεση της εξίσωσης παίζει η 'βαρυκεντρική' παρατήρηση ότι το τυχόν σημείο ανήκει στην έλλειψη αν και μόνον αν ανήκει στην έλλειψη το σημείο $\left(\dfrac{2b}{3}-x, \dfrac{2c}{3}-y\right)$ , οπότε η αφαίρεση της μιας εξίσωσης από την άλλη κατά μέλη και ο μηδενισμός των συντελεστών των , που προκύπτουν μας δίνουν τις 'επιπλέον' εξισώσεις που χρειαζόμαστε.]

Εφαρμογή των παραπάνω στο τρίγωνο που χρησιμοποίησα ως παράδειγμα -- κορυφές (-1,0)

,

-- με εύρεση των εστιών από το WolframAlpha: κατά κάκιστη σύμπτωση η μία από τις δύο εστίες κείται, 'λίγο πολύ', επί μιας πλευράς του τριγώνου, οπότε δύο από τις τρεις σεβιανές που αντιστοιχούν στην εστία ταυτίζονται με την πλευρά

: equalcevians.png (21.89 KiB) Προβλήθηκε 3309 φορές

#14

Επόμενος στόχος δεν θα μπορούσε παρά να είναι η αλγεβρική εύρεση των εστιών της έλλειψης Steiner. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι εστίες (p,q)

,

δίνονται από την εξίσωση

$\dfrac{9p^2+13,8p+2,13}{\sqrt{(3p+3,6)^2(3p+0,3)^2+1,2^2(3p+1,5)^2}}=\dfrac{-3p^2+3,4p+0,09}{\sqrt{(p-1)^2(3p+0,3)^2+1,2^2(p-0,3)^2}},$

ειδική περίπτωση για a=1

,

της γενικής εξίσωσης

$\dfrac{9p^2+(12a+6b)p-(8ab+3b^2)}{\sqrt{(3p+3a-2b)^2(3p-b)^2+c^2(3p-5b)^2}}=\dfrac{-3p^2+(4a+2b)p+b^2}{\sqrt{(p-a)^2(3p-b)^2+c^2(p+b)^2}},$

ΚΑΙ από τις 'συνοδευτικές' ισότητες $q=\dfrac{c(p+b)}{3p-b}$ , $r=\dfrac{2b}{3}-p$ , $s=\dfrac{2c}{3}-r=\dfrac{c(3p-5b)}{3(3p-b)}$ : η πρώτη ισότητα προέρχεται από την βασική ιδιότητα της έλλειψης Steiner να έχει εφαπτόμενη σε κάθε κορυφή του εγγεγραμμένου τριγώνου παράλληλη προς την απέναντι πλευρά, ενώ οι άλλες δύο ισότητες οφείλονται στην συμμετρία της έλλειψης Steiner -- άρα και των δύο εστιών της -- περί το βαρύκεντρο, που στην περίπτωση του τριγώνου (-a,0),(a,0),(b,c)

είναι το $\left(\dfrac{b}{3}, \dfrac{c}{3}\right)$ .

[Στην περίπτωση της κορυφής (b,c)

που μας ενδιαφέρει (για την δικαιολόγηση της ισότητας $q=\dfrac{c(p+b)}{3p-b}$ ) ...βλέπουμε ότι όντως η εφαπτόμενη είναι οριζόντια, και αυτό προκύπτει από την εξίσωση της έλλειψης Steiner $x^2+\left(\dfrac{3a^2+b^2}{c^2}\right)y^2-\dfrac{2b}{c}xy-\dfrac{2a^2}{c}y=a^2$ και την προκύπτουσα μέσω πεπλεγμένης παραγώγισης $y'=\dfrac{bcx-c^2x}{(3a^2+b^2)y-bcx-a^2c}$ . Αυτό όμως σημαίνει, χάρις στην γνωστή ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης, ότι οι συντελεστές των τμημάτων που συνδέουν την κάθε μία από τις εστίες (p,q)

,

με την κορυφή (b,c)

είναι αντίθετοι ο ένας του άλλου, και από την παρατήρηση αυτή προκύπτει άμεσα η ισότητα $q=\dfrac{c(p+b)}{3p-b}$ , με ταυτόχρονη χρήση των δύο απλούστερων ισοτήτων $r=\dfrac{2b}{3}-p$ , $s=\dfrac{2c}{3}-r$ .]

Η ζητούμενη 'γενική εξίσωση εστιών έλλειψης Steiner' (εύρεση

) προκύπτει τώρα από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης και πάλι: αρκεί να παρατηρηθεί ότι είναι ίσα τα συνημίτονα των γωνιών που ορίζονται από τα τμήματα που συνδέουν την κάθε εστία με την κορυφή (a,0)

και από την κάθετο της έλλειψης στο (a,0)

.

[Από την $y'=\dfrac{bcx-c^2x}{(3a^2+b^2)y-bcx-a^2c}$ βρίσκουμε ότι ο συντελεστής της εφαπτομένης στο (a,0)

είναι ο $\dfrac{c}{a+b}$ , άρα ο συντελεστής της καθέτου είναι ο $-\dfrac{a+b}{c}$ . Οι δύο γωνίες είναι λοιπόν η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα <-c, a+b>

,

και η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα <-c, a+b>

,

. Η ζητούμενη ως προς

γενική εξίσωση προκύπτει τώρα με χρήση του γνωστού τύπου για το συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων, αφού βέβαια εκφραστουν τα q, r, s

συναρτήσει του

με χρήση των ισοτήτων που είδαμε στην αρχή. (Υπάρχουν και άλλα θεματάκια που σχετίζονται με την εξίσωση μας, όπως ας πούμε οι επιπλέον απορριπτέες ρίζες, τα οποία ίσως συζητηθούν αργότερα.)]

#15

Εύρεση εστιών της έλλειψης Steiner -- και των δύο σημείων τομής τριών ίσων σεβιανών -- του τριγώνου (-a,0), (a,0), (b,c)

στο Wolframalpha σύμφωνα με τα της προηγούμενης ανάρτησης (βλέπετε συνημμένο): πολλές και σκανδαλιστικές οι συμμετρίες, αρκετές οι απορίες, αλλά, προς το παρόν, κρατάμε τις λύσεις $p\approx -0,97563$ και $p\approx 0,77563$ ... που όντως αντιστοιχούν στις δύο εστίες (όπως είχαν δοθεί, μέσω Wolframalpha 'απευθείας', σε παλαιότερη δημοσίευση) ... και βλέπουμε

: steiner-foci.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 3266 φορές

#16

Γιώργο καλησπέρα από τα Γρεβενά...

Τώρα μπόρεσα να βρω χρόνο να αναρτήσω κάτι ακόμα στο μεγάλο θέμα που ανακίνησες με αφορμή την εργασία μας
στη Μαθηματική εβδομάδα.
Έκανες πολύ δουλειά και, όπως κι άλλες φορές, θέλησα εκ του αποτελέσματος να επαληθεύσω τα αποτελέσματά σου.
Συγκεκριμένα θέλησα να επαληθεύσω τον τύπο που έγραψες:
$\displaystyle{x^2+(\frac{3a^2+b^2}{c^2})y^2-\frac{2b}{c}xy-\frac{2a^2}{c}y-a^2=0 \ \ (1)}$
αν δίνει την περιγεγραμμένη έλλειψη σε ένα δοθέν τρίγωνο $\displaystyle{A(b,c), B(-a,0),C(a,0)}$
Θέτοντας στο λογισμικό μου(ggb) τρείς δρομείς για τις παραμέτρους $\displaystyle{a,b,c}$ και δίνοντας την εξίσωση
αυτή τότε πήρα το σχήμα:

: Steiner 1.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 3231 φορές

Η εικόνα αυτή βέβαια δεν μας πείθει παρά μόνο ότι η έλλειψη αυτή της εξίσωσης (1) είναι μια περιγεγραμμένη
έλλειψη στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ .
Προχώρησα σε παραπέρα έλεγχο.
Σύμφωνα με τη σχετική θεωρία έκανα πρώτα την εγγεγραμμένη έλλειψη του Steiner στο τρίγωνο αυτό
το οποίο το "όπλισα" σε μιγαδικό επίπεδο. Θεώρησα λοιπόν τα σημεία:
$\displaystyle{A(b+ci), B(-a+0i), C(a+0i)}$
έφερα τις διαμέσους, βρήκα το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ το οποίο είναι και το κέντρο της ζητούμενης έλλειψης
Steiner, καθώς και τα σημεία που είναι μέσα των τμημάτων $\displaystyle{GA, GB,GC}$ . Έτσι γνωρίζοντας τα έξι
σημεία, δηλαδή τα τρία μέσα των πλευτών του τριγώνου και τα ανωτέρω μέσα κατασκευάστηκε με
το λογισμικό η εγγεγραμμένη έλλειψη Steiner(με πάρα πολλές ιδιότητες...). Το σχήμα αυτής είναι
το ακόλουθο:

: Steiner 5.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 3230 φορές

Όπως φαίνεται στο ανωτέρω στιγμιότυπο οι τιμές των παραμέτρων είναι:
$\displaystyle{a=5,\ \ b=-3, \ \ c=4}$
(Με τις ίδιες τιμές είναι και το στγιμιότυπο της περιγεγραμμένης στο προηγούμενο σχήμα)

Η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner είναι η ομοιόθετη της εγγεγραμμένης στο τρίγωνο αυτό με κέντρο
ομοιοθεσίας το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ και με λόγο ομοιοθεσίας ίσο με $\displaystyle{2}$ .
Λειτουργώντας την ομοιοθεσία αυτή στο σχήμα της εγγεγραμμένης έλλειψης δίνει πράγματι αυτήν
που δίνει η εξίσωση (1), όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

: Steiner 4.png (26.76 KiB) Προβλήθηκε 3230 φορές

Η αναζήτηση των εστιών αυτών των ελλείψεων θα γίνει σε επόμενο μήνυμα..., όπου θα φανεί
και η χρησιμότητα των μιγαδικών συντεταγμένων.

Κώστας Δόρτσιος

#17

Καλημέρα Κώστα,

πολύ ενδιαφέροντα αυτά που μας έστειλες για την εγγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner inellipse, για την οποία σίγουρα θα ξαναμιλήσουμε)^ όσον αφορά την περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner circumellipse), η ορθότητα της εξίσωσης που έδωσα φαίνεται και 'με το μάτι', καθώς κέντρο της έλλειψης που προκύπτει είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, ενώ οι εφαπτόμενες στις κορυφές του είναι παράλληλες προς την απέναντι πλευρά.

Με την αναλυτική μου προσέγγιση είναι αρκετά εύκολο να δειχθεί -- εν μέρει το έχω ήδη κάνει -- ότι οι παραπάνω δύο ιδιότητες είναι ισοδύναμες. (Μία τρίτη ιδιότητα με την οποία δεν ασχολήθηκα είναι ότι η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner έχει το ελάχιστο εμβαδόν ανάμεσα σε όλες τις περιγεγραμμένες ελλείψεις.) Αναρωτιέμαι τι γίνεται με συνθετικές προσεγγίσεις, και ΠΟΤΕ δόθηκαν αυτές: για να γίνω πιο ξεκάθαρος, την γνώριζαν αυτήν την έλλειψη και τις θεσπέσιες ιδιότητες της οι αρχαίοι ημών πρόγονοι; Αν ναι, ποιες αποδείξεις είχαν δοθεί, και από ποιούς; Αν όχι, ΓΙΑΤΙ; (Αν δηλαδή δεν την γνώριζαν ... αυτό συνέβη επειδή ίσως δεν θα τους ενδιέφεραν τέτοια θέματα. ή επειδή ίσως δεν διέθεταν ακόμη τα κατάλληλα μέσα προσέγγισης;)

[Δυσκολεύομαι να πιστέψω τα παραπάνω, θεωρώ ότι πρέπει να ήταν γνωστή στην αρχαιότητα η έλλειψη Steiner, με άλλο όνομα φυσικά, αλλά ... μια και κανένας μας δεν έγραψε κάτι σχετικά ... θέτω το θέμα και επίσημα εδώ στο

)

#18

Η χιουμοριστική -- θα έλεγα -- παρέμβαση μου σε προ τριετίας συζήτηση (που ξαναθυμήθηκα τυχαία, αναζητώντας ανεπιτυχώς αναφορές στην έλλειψη Steiner εδώ στο

) ... μας προσγειώνει προς στιγμήν στο σημείο εκκίνησης, στο Θεώρημα Lehmus-Steiner δηλαδή και στις γενικεύσεις του (και στις σχετικές παρουσιάσεις των Ανδρέα Βαρβεράκη (2014) και Κώστα Δόρτσιου & Γιώργου Τσίντσιφα (2018) στην Μαθηματική Εβδομάδα): εικάζω για παράδειγμα -- χωρίς να έχω κάνει καμιά προσπάθεια απόδειξης αλλά επισυνάπτοντας ελαφρά τροποποιημένο σχήμα του Κώστα

-- ότι για κάθε διχοτόμο σκαληνού τριγώνου υπάρχει ακριβώς ένα σημείο επ' αυτής (και εκτός του τριγώνου αναγκαστικά) από το οποίο διέρχονται ίσες σεβιανές προς τις αντίστοιχες πλευρές! (Το σημείο αυτό προκύπτει στο συνημμένο, για κάθε μία από τις τρεις διχοτόμους, ως τομή αυτών με το μη ευθύ τμήμα της αντίστοιχης ισοσεβιανής (καμπύλης ίσων σεβιανών): πηγαίνοντας ένα βήμα παραπέρα, τολμώ να εικάσω ότι τα τρία σημεία σχηματίζουν -- σε τέλειο σχήμα με ακριβείς διχοτομήσεις

-- ισόπλευρο τρίγωνο!)

Βλέπουμε λοιπόν πως μία 'πειραματικοαναλυτική' προσέγγιση (βασισμένη στην προκείμενη περίπτωση στην ισοσεβιανή και στην εξίσωση της) μπορεί να οδηγήσει σε Ευκλείδεια αποτελέσματα ή έστω Ευκλείδειες εικασίες. Ας παρατηρήσω εδώ με την ευκαιρία ότι η δύναμη της ισοσεβιανής δεν είναι απόλυτη: ναι μεν δείχνει, 'πειραματικοαναλυτικά'', πόσο περιορισμένο είναι το χωρίο των Δόρτσιου-Τσίντσιφα σε σχέση με την πραγματικότητα, δεν είναι όμως καθόλου εύκολη η αυστηρά τεκμηριωμένη επέκταση του χωρίου τους προς αυτό που μας δείχνει η ισοσεβιανή^ έχω για παράδειγμα εικάσει, χωρίς να καταφέρω να αποδείξω παρά τις προσπάθειες μου, ότι στο τυχόν τρίγωνο (-a,0)

,

το χωρίο των Δόρτσιου-Τσίντσιφα μπορεί να επεκταθεί, εντός πάντοτε του τριγώνου (αλλά και αρκετά πιο πέρα ίσως), κατά το χωρίο ανάμεσα στην μεσοκάθετο της βάσης που ορίζουν τα (-a,0)

,

και στην

-- δεν κατάφερα δηλαδή να αποδείξω (αναφερόμενος πάντα στην αρχική δημοσίευση αυτής της συζήτησης, όπου b<0

) ότι αν

και

τότε

.

: Cevians3.png (57.37 KiB) Προβλήθηκε 3150 φορές

#19

Γιώργο καλημέρα.

Είναι αλήθεια ότι το θέμα το προχωράς όλο και πιο πέρα και με ενδιαφέροντα
τρόπο.
Εγώ θα επανέλθω στην κατασκευή των στοιχείων της έλλειψης αυτής του
Steiner, ενός τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και ειδικότερα στην κατασκευή των εστιών της.

Θεωρούμε το τρίγωνο ορισμένο σε ένα μιγαδικό επίπεδο όπως αυτό φαίνεται
στο ακόλουθο σχήμα:

: Steiner 7.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 3111 φορές

Το τρίγωνο αυτό και η εγγεγραμμένη σ' αυτό έλλειψη Steiner σχεδιάστηκε σύμφωνα με
τη διαδικασία που αναφέρθηκει στο προηγούμενό μου μήνυμα.
Ζητούμε τώρα να σχεδιάσουμε τις εστίες $\displaystyle{F_1, F_2}$ αυτής.
Εργαζόμαστε σύμφωνα με το Θεώρημα του Marden το οποίο λέει:

"Αν έχουμε ένα τρίγωνο $\displaystyle{A(z_1)B(z_2)C(z_3)}$ όπου οι κορυφές $\displaystyle{A,B,C}$ είναι αντίστοιχα
οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z_1,z_2,z_3}$ τότε οι εστίες της εγγεγραμμένης
έλλειψης Steiner είναι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης:
$\displaystyle{P'(z)=0 \ \ (1)}$
όπου το πολυώνυμο $\displaystyle{P(z)}$ είναι της μορφής:
$\displaystyle{P(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) \ \ (2) }$ "

Στην περίπτωσή μας το πολυώνυμο $\displaystyle{P}$ είναι:

$\displaystyle{P(z)=(z+3-4i)(z^2-25) \ \ (3)}$

και η παράγωγος του είναι:

$\displaystyle{ P'(z)=3z^2+2(3-4i)z-25 \ \ (4) }$

Η εξίσωση (4) έχει δύο λύσεις μιγαδικές οι οποίες είναι:

$\displaystyle{z_{1,2}=\frac{-3+4i \pm \sqrt{17-4i}}{3} \ \ (5)}$

Η μορφή των λύσεων (5) θα μπορούσε να γίνει πιο απλή, όμως κι έτσι
μας επιτρέπει η χρήση λογισμικού να εμφανίζουμε τις εικόνες αυτών
που είναι οι εστίες $\displaystyle{F_1,F_2}$ , όπως αυτές φαίνονται στο ακόλουθο
σχήμα:

: Steiner 8.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 3111 φορές

Παραθέτω κι ένα δυναμικό σχήμα που δείχνει την ομοιοθεσία
για τη δημιουργία της περιγεγραμμένης έλλειψης Steiner με
τις αντίστοιχες ευθείες.

Ελλειψη Steiner 1.ggb: (17.52 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές

Κι ακόμα έναν υπερσύνδεσμο για το Θεώρημα του Marden.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... _de_Marden

Κώστας Δόρτσιος

#20

Κώστα ΝΑΙ, το είχα δει κάποτε στο Monthly το θεώρημα του Marden, και πάντα ήθελα να ασχοληθώ μ' αυτό, ποτέ όμως δεν θα μπορούσα να φανταστώ ότι μια μέρα θα το έβρισκα μπροστά μου λόγω του απείρως γνωστότερου θεωρήματος Lehmus-Steiner!!!

[Λόγω τώρα της ομοιοθεσίας ανάμεσα στις δύο ελλείψεις Steiner που επισήμανες ... βρίσκονται πλέον πολύ εύκολα (μιγαδικώς πάντοτε) τα σημεία Bickart των τριών/έξι ίσων σεβιανών.]

Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Μέλη σε σύνδεση