Σταθερο Πολυωνυμο

papel · #1

Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τοτε το πολυωνυμο αυτο ειναι σταθερο.

(Δυσκολη και θα ηθελα να δω πως θα την αντιμετωπιζαν οι συναδελφοι οχι τοσο την λυση
αλλα το σκεπτικο πως να κινηθουμε)

Διορθωση στην εκφωνηση αντι του καθε μετα απο υποδειξεις

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

Μετά από προσωπικό μύνημα του Χρήστου Κυριαζή, σβήνω την απάντηση μου.
Θα τη δω με μεγαλύτερη προσοχή.
Χρήστος

papel · #3

Η δικη μου στρατηγικη ηταν να δειξω οτι η G'(x) ειναι το μηδενικο πολυωνυμο αρα
η G(x) ειναι σταθερο. Αυτα που εχω ειναι $G(1)= 1\pm \sqrt{3}$ αρα διαφορο του μηδενος
και G'(1)=0 (παραγωγιζοντας τα δυο μελη). Μετα ομως ;

#4

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Βέβαια και η λύση του Μιχάλη και η δική μου δεν απευθύνεται σε Β΄Λυκείου.
Χρήστος
(Πού πήγε Ο Μιχάλης;)

Χρήστο,

έσβησα την λύση που είχα βάλει. Νομίζω (!) ότι έχω καλύτερη, αλλά
δεν βρήκα χρόνο (άααααχ) να την επεξεργαστώ όπως θέλω...

Να 'σαι καλά.

Μιχάλης

Α.Κυριακόπουλος · #5

papel έγραψε:Να δειξετε οτι εαν καθε πολυωνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τοτε το πολυωνυμο ειναι σταθερο.

(Δυσκολη και θα ηθελα να δω πως θα την αντιμετωπιζαν οι συναδελφοι οχι τοσο την λυση
αλλα το σκεπτικο πως να κινηθουμε)

Δεν είναι δυνατόν κάθε πολυώνυμο G(x) να ικανοποιεί την δοσμένη ισότητα. Για παράδειγμα, με: G(x)=x η ισότητα αυτή γίνεται:
$2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2}}}{2} - 1$ . Άτοπο, γιατί τα πολυώνυμα: $2{x^2} - 1$ και $\frac{{{x^2}}}{2} - 1$ προφανώς δεν είναι ίσα.

papel · #6

Νομιζω οτι ειναι σωστη η παρατηρηση του κ.Αντωνη και για αυτο αλλαξα την εκφωνηση
προς το ορθοτερον.

#7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Δεν είναι δυνατόν κάθε πολυώνυμο G(x) να ικανοποιεί την δοσμένη ισότητα. Για παράδειγμα, με: G(x)=x η ισότητα αυτή γίνεται:
$2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2}}}{2} - 1$ . Άτοπο, γιατί τα πολυώνυμα: $2{x^2} - 1$ και $\frac{{{x^2}}}{2} - 1$ προφανώς δεν είναι ίσα.

Η σωστή διατύπωση είναι:

Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G ικανοποιεί την σχέση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τότε το πολυώνυμο είναι σταθερό.

(Ο Χρήστος και εγώ είχαμε επισημάνει νωρίτερα την κακή διατύπωση αλλά, ατυχώς, σβήσαμε τα μηνύματά μας για άλλους λόγους)

ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΡΓΟΤΕΡΑ: Τώρα είδα ότι έγινε διόρθωση στο αρχικό. Αφήνω και την δική μου διόρθωση γιατί δεν είναι σωστό να λέμε "συνάρτηση f(x)" , "πολυώνυμο p(x)", "πολυωνυμική συνάρτηση p(x)" ή άλλα παρόμοια, αλλά
"συνάρτηση f " και λοπά: Το f(x) είναι η τιμή της, ενώ f είναι το όνομά της.

#8

Βάζοντας χ=1 βρίσκουμε ότι το G(1) είναι άρρητος. (Τώρα που το ξαναβλέπω, θα χρησιμοποιήσω μόνο ότι το G(1) δεν είναι της μορφής 4^r

, όπου r μη αρνητικός ακέραιος.)

Παραγωγίζοντας βρίσκουμε $\displaystyle G(x)G^{\prime}(x) = 4xG^{\prime}(2x^2-1)$

Θα δείξω ότι η παράγωγος της G είναι ταυτοτικά 0 και άρα η G είναι σταθερή. Ας υποθέσουμε πως αυτό δεν ισχύει

Έστω $G^{\prime}(x) = (x-1)^rF(x)$ , όπου $F(1) \neq 0$ . (Επιτρέπεται r=0

αν και ο papel έχει ήδη δείξει ότι $r \geqslant 1$ .) Τότε

G(x)F(x) = 4x2^r(x+1)^r F(2x^2-1)

Βάζοντας όμως όπου χ=1 βρίσκουμε ότι το G(1) είναι ρητός, άτοπο.

Έκανα κάποιες προσθέσεις στην απόδειξη διότι δεν φαινόταν ξεκάθαρα τι προσπαθούσα να δείξω.

#9

Δημήτρη, δεν κατάλαβα την λύση:

Το σταθερό πολυώνυμο $G(x) = 1 + \sqrt{3}$ ικανοποιεί την δοθείσα. Άρα λύση υπάρχει.

Μιχάλης

Α.Κυριακόπουλος · #10

papel έγραψε:Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τοτε το πολυωνυμο αυτο ειναι σταθερο.

(Δυσκολη και θα ηθελα να δω πως θα την αντιμετωπιζαν οι συναδελφοι οχι τοσο την λυση
αλλα το σκεπτικο πως να κινηθουμε)

Διορθωση στην εκφωνηση αντι του καθε μετα απο υποδειξεις

Τα πολυώνυμα δεν είναι συναρτήσεις (το έχω ξαναγράψει). Άλλη είναι η έννοια της ισότητας στις συναρτήσεις και άλλη είναι στα πολυώνυμα. Όταν δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα, γράφουμε: P(x)=Q(x), χωρίς να γράφουμε για κάθε x (που ανήκει σε κάποιο σύνολο). Γιατί, το x στα πολυώνυμα δεν είναι μια μεταβλητή ( όπως στις συναρτήσεις) που διατρέχει τα στοιχεία κάποιου συνόλου( για παράδειγμα του R ή του C). Το x στα πολυώνυμα είναι και αυτό ένα πολυώνυμο, το οποίο μάλιστα ονομάζεται και «βασικό πολυώνυμο» ή «απροσδιόριστος» ( στις συναρτήσεις ονομάζεται «μεταβλητή» και στις εξισώσεις ονομάζεται «άγνωστος», το έχω ξαναγράψει). Με άλλα λόγια, στη θεωρία των πολυωνύμων, το x δεν τo αντιμετωπίζουμε σαν ένα γράμμα που υποχρεωτικά παριστάνει κάποιο αριθμό.
( παλαιότερα γράφανε: $P(x) \equiv Q(x)$ , αλλά η τρίτη γραμμή δεν έχει να προσθέσει τίποτα, αφού η έννοια της ισότητας σε όλα τα μαθηματικά είναι η ίδια, δηλαδή «ταύτιση», εκτός αν εννοούμε «ταύτιση κλάσεων ισοδυναμίας»).
$\rightarrow$ Λοιπόν, η σωστή διατύπωση στις ασκήσεις είναι η εξής:
« Να αποδείξετε ότι ,αν για ένα πολυώνυμο G(x), ισχύει: $G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1$ , τότε το πολυώνυμο αυτό είναι σταθερό».

#11

papel έγραψε:Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τοτε το πολυωνυμο αυτο ειναι σταθερο.

Την ξεχάσαμε αυτή την ωραία άσκηση. Να μία λύση. Είναι η ίδια που έβαλα χθες αλλά απέσυρα γιατί νόμιζα ότι έχω καλύτερη λύση. (Ακόμη το νομίζω αλλά ... ουκέτι χρόνος).

Θέτοντας x = 1 και λύνοντας μία δευτεροβάθμια, θα βρούμε $G(1) = 1 \pm \sqrt{3}$ . Από αυτό, θέτοντας x = -1, θα βρούμε $G(-1) = \sqrt{4 \pm 2 \sqrt{3}} = 1 \pm \sqrt{3}$ . Κατόπιν, θέτοντας x = 0, θα βρούμε $G(0) = 1 \pm \sqrt{3}$ .

Ορίζουμε τώρα αναδρομικά $x_1 = 0, \ x_{n+1} = \sqrt \frac {x_n +1}{2}$ , οπότε $2x_{n+1}^2 - 1 = x_n$ .
Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι η (x_n)

έχει θετικούς όρους και είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς λαμβάνει άπειρες το πλήθος διαφορετικές τιμές. Επίσης εύκολα βλέπουμε επαγωγικά, θέτοντας $x = x_{n+1}$ και λύνοντας μία δευτεροβάθμια (την ίδια που λύσαμε ήδη τρεις φορές), ότι για κάθε n ισχύει

$G(x_n) = \sqrt{4 \pm 2 \sqrt{3}} = 1 \pm \sqrt{3}$ .

Με άλλα λόγια, η G παίρνει άπειρες φορές την ίδια τιμή. Άρα, ως πολυωνυμική, είναι σταθερή, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

hsiodos · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:
papel έγραψε:Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1$

τοτε το πολυωνυμο αυτο ειναι σταθερο.
Θέτοντας x = 1 και λύνοντας μία δευτεροβάθμια, θα βρούμε $G(1) = 1 \pm \sqrt{3}$ . Από αυτό, θέτοντας x = -1, θα βρούμε $G(-1) = \sqrt{4 \pm 2 \sqrt{3}} = 1 \pm \sqrt{3}$ . Κατόπιν, θέτοντας x = 0, θα βρούμε $G(0) = 1 \pm \sqrt{3}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Καλησπέρα
Έχω μια απορία , εκτός και αν κάνω λάθος στις πράξεις.

Αν $G(1)=1-\sqrt{3}$ τότε προκύπτει $G(-1)= 1-\sqrt{3}$ ή $G(-1)= \sqrt{3}-1$

Αν για παράδειγμα $G(-1)= \sqrt{3}-1$ τότε δεν παίρνουμε $G(0) = 1 \pm \sqrt{3}$

Στην περίπτωση αυτή τι γίνεται;

Φιλικά

Γιώργος

#13

hsiodos έγραψε:

Καλησπέρα
Έχω μια απορία , εκτός και αν κάνω λάθος στις πράξεις.

Αν $G(1)=1-\sqrt{3}$ τότε προκύπτει $G(-1)= 1-\sqrt{3}$ ή $G(-1)= \sqrt{3}-1$

Αν για παράδειγμα $G(-1)= \sqrt{3}-1$ τότε δεν παίρνουμε $G(0) = 1 \pm \sqrt{3}$

Στην περίπτωση αυτή τι γίνεται;

Φιλικά

Γιώργος

Γιώργο,

Εκ πρώτης όψεως έχεις δίκιο, αλλά νομίζω ότι μπαλώνεται το κενό μου.
Θα το κοιτάξω το Σαββατοκύριακο, αλλά δυστυχώς δεν έχω ιντερνετ εκεί που θα βρίσκομαι για να γράψω τα όποια συμπεράσματά μου.
Υπομονή λοιπόν.

Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#14

Μια άλλη προσέγγιση.

#15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
hsiodos έγραψε:

Καλησπέρα
Έχω μια απορία , εκτός και αν κάνω λάθος στις πράξεις.

Αν $G(1)=1-\sqrt{3}$ τότε προκύπτει $G(-1)= 1-\sqrt{3}$ ή $G(-1)= \sqrt{3}-1$

Αν για παράδειγμα $G(-1)= \sqrt{3}-1$ τότε δεν παίρνουμε $G(0) = 1 \pm \sqrt{3}$

Στην περίπτωση αυτή τι γίνεται;

νομίζω ότι μπαλώνεται το κενό μου. Θα το κοιτάξω το Σαββατοκύριακο,

Πράγματι μπαλώνεται το κενό, ευτυχώς εύκολα: Είναι
$\frac{G(x)^2}{2} - 1 = G(2x^2-1) = G(2(-x)^2-1) = \frac{G(-x)^2}{2} - 1$ άρα G(x)^2=G(-x)^2

, οπότε

.

,

μηδενίζεται άπειρες φορές, άρα είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Όμως δεν είναι το πρώτο ίσο με μηδέν γιατί δίνει G(0) = 0, που ξέρουμε ότι δεν ισχύει (ξέρουμε την τιμή του G(0)).
Άρα είναι G(x) = G(-x) για κάθε x. Άρα $G(-1) = G(1) = 1\pm \sqrt{3}$ , δηλαδή δεν προκύπτει η περίπτωση $G(-1) =\sqrt{3} - 1$ .

Τα υπόλοιπα στην άρχική απόδειξη φαίνεται ότι στέκουν.

Ευχαριστώ τον Γιώργο για την επισήμανση του κενού.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#16

Persona_Non_Grata έγραψε:Μια άλλη προσέγγιση.

Σεραφείμ, προσοχή.

Βλέπω δύο λάθη στην λύση. Ευτυχώς όμως και τα δύο μπαλώνονται:

1) Δεν είναι αλήθεια (δεύτερη και τρίτη γραμμή της λύσης) ότι «αν το G^2(x)

έχει μόνο άρτιους όρους, τότε το ίδιο συμβαίνει με το G»
Παραδείγματος χάριν αν G(x) = x^3 + x

τότε

= μόνο άρτιοι όροι, αλλά δεν συμβαίνει το ίδιο με το G.

Αυτό που ισχύει είναι
Αν το G^2(x)

έχει μόνο άρτιους όρους, τότε το G είτε έχει μόνο άρτιους όρους είτε μόνο περιττούς (και τα δύο είναι πιθανά). (*)

Για την συγκεκριμένη G έδειξα παραπάνω ότι δεν μπορεί να συμβαίνει το δεύτερο.
Βάζω μια απόδειξη της (*) σε χωριστό θέμα γιατί είναι ενδιαφέρον από μόνο του.

2) Στη τελευταία γραμμή της λύσης σου γράφεις ότι "δεν ασχολήθηκες με άλλες δυνάμεις του x (εννοείται μικρότερες) γιατί δεν υπεισέρχονται στους υπολογισμούς".
Προσοχή όμως, στους υπολογισμούς εμφανίζεται ένα 2n-2. Οπότε για να είναι σωστή η σύγκριση των συντελεστών από τις (*), πρέπει να έχουμε 2n-2 > 2, ισοδύναμα n > 2.
Έτσι οι περιπτώσεις n = 0, 1, 2 πρέπει να γίνουν χωριστά. Πάντως δεν παρουσιάζουν πρόβλημα.

Φιλικά,

Μιχάλης

#17

Πολύ σωστά ο Μιχάλης επισήμανε τα δύο "τρωτά" σημεία. Το ότι το G(x) έχει μόνον άρτιους όρους είναι ήδη αποδειγμένο στο παραπάνω όμορφο σχόλιό του (G(x) = G(-x)). Οι περιπτώσεις n=0,1,2 είναι θέμα ρουτίνας. Ευχαριστώ πολύ όλους όσους συνέβαλαν στην προσέγγιση αυτού του όμορφου προβλήματος.

#18

Αν ενα πολυωνυμο είναι σταθερό στο $\displaystyle{[a,b]}$ Τοτε είναι σταθερό στο $\displaystyle{R}$
Αποδειξη
Εστω $\displaystyle{P(x)=c ,a\le x\le b}$ Το $\displaystyle{P(x)-c}$ έχει απειρες ρίζες (προφανώς στο $\displaystyle{[a,b]}$ )
Αρα είναι το μηδενικό σε ολο το $\displaystyle{R}$
Tώρα έστω
$\displaystyle{-1\le x\le 1 \Rightarrow x=cosy \Rightarrow g(cos2y)=(1/2)g^2(cosy)-1 \Rightarrow}$
$\displaystyle{ f(2y)=(1/2)f^2(y)-1}$
παραγωγίζοντας ως προς $\displaystyle{y:2f'(2y)=f'(y)f(y)}$ παιρνοντας βαθμους με $\displaystyle{degf=n}$ καταλήγουμε
$\displaystyle{n-1=n-1+n\Rightarrow n=0\Rightarrow P=const}$ στο $\displaystyle{[-1,1]}$ αρα και στο $\displaystyle{R}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #19

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 22, 2020 8:09 pm
Αν ενα πολυωνυμο είναι σταθερό στο $\displaystyle{[a,b]}$ Τοτε είναι σταθερό στο $\displaystyle{R}$
Αποδειξη
Εστω $\displaystyle{P(x)=c ,a\le x\le b}$ Το $\displaystyle{P(x)-c}$ έχει απειρες ρίζες (προφανώς στο $\displaystyle{[a,b]}$ )
Αρα είναι το μηδενικό σε ολο το $\displaystyle{R}$
Tώρα έστω
$\displaystyle{-1\le x\le 1 \Rightarrow x=cosy \Rightarrow g(cos2y)=(1/2)g^2(cosy)-1 \Rightarrow}$
$\displaystyle{ f(2y)=(1/2)f^2(y)-1}$
παραγωγίζοντας ως προς $\displaystyle{y:2f'(2y)=f'(y)f(y)}$ παιρνοντας βαθμους με $\displaystyle{degf=n}$ καταλήγουμε
$\displaystyle{n-1=n-1+n\Rightarrow n=0\Rightarrow P=const}$ στο $\displaystyle{[-1,1]}$ αρα και στο $\displaystyle{R}$

Υπάρχει σφάλμα.
Αν δεν κάνω λάθος το πολυώνυμο είναι το g(x)

.
Επίσης είναι $f(y)=g(\cos y)$ .
Η

δεν είναι πολυώνυμο.
Ετσι δεν μπορούμε να μιλάμε για βαθμό.

#20

μετά τεν συζητηση που είχα με τον Σταυρο σε ΠΜ σκέφτηκα μια ιδεα για να συνεχίσω Την παραθέτω περιληπτικά

Θετω το $g(cosx)=a_0+\sum_{k=1}^{n}a_kcos(kx)$ στην $\displaystyle{2f'(2y)=f'(y)f(y)}$ που είναι δυνατον

αφου ειναι γνωστο οτι το $\displaystyle{cos^nx}$ γράφεται ως γραμμικός συνδιασμός των $\displaystyle{cos nx}$ (ευκολο με επαγωγή)

τότε ευκολα ποκύπτει οτι ο μεγιστοβάθμιος συντελετής $\displaystyle{a_n=0}$ επαναλαμβάνοντας $\displaystyle{a_{n-1}=0,...a_1=0}$ το

$\displaystyle{a_0}$ προκύπτει απο την αρχική σχέση και το γεγονός $\displaystyle{f(y)>0 }$ που βγαινει απο την $\displaystyle{2f'(2y)=f'(y)f(y)}$

φυσικά η λυση μου είναι ΕΚΤΟΣ ΦΑΚΕΛΛΟΥ

Σταθερο Πολυωνυμο

Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Μέλη σε σύνδεση