ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 78η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ Νίκο χαίρομαι κατ' αρχήν για τα ευχάριστα νέα της "Αρμονικής Γεωμετρίας", φυσικά θα τα πούμε και από κοντά. Σ' ευχαριστώ επίσης για την εμπεριστατωμένη απάντηση και την αναφορά στην "Μεθοδική Γεωμετρία" των Γ. & Π. Γεωργιακάκη: μου είναι δύσκολο να φανταστώ, από την στιγμή που είναι γνωστή η πρόταση που πρότεινε ο KARKAR, ότι δεν είναι γνωστή και η αντίστροφη της (δηλαδή η απόδειξη σύγκλισης υψών που πρότεινα)^ αν όμως δεν αναφέρεται κάπου, τότε θεωρώ ότι είναι αποδεκτή ως νέα (75η) απόδειξη, μια και, πέραν της αναλυτικής προσέγγισης μου, έχουμε την έγκυρη κατασκευή των δύο ίσων κύκλων (εδώ) από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros) και την έγκυρη απόδειξη ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο (εδώ), και πάλι από τον Νίκο Φραγκάκη (doloros). (Θεωρώ ότι δεν υπάρχει φαύλος κύκλος σ' αυτές τις απλές αποδείξεις του Νίκου^ το πολύ που θα μπορούσε να του προσάψει κάποιος είναι ότι χρησιμοποιεί την κατασκευή του (των δύο ίσων κύκλων) για να αποδείξει το ζητούμενο (ότι δηλαδή το δεύτερο σημείο τομής των δύο ίσων κύκλων είναι το ορθόκεντρο), κάτι που για μένα δεν αποτελεί πρόβλημα.)

Αγαπητέ Γιώργο.
σε ευχαριστώ πολύ για το έμπρακτο ενδιαφέρον σου, για την προσφορά σου εδώ με δύο νέων παλαιοτέρων σχετικών αποδείξεών σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου εδώ, την σωστή και ωραία απόδειξη σου, που πρότεινες (εδώ), βασιζόμενη στην κατασκευή δύο ίσων κύκλων με διάκεντρο ίση και παράλληλη σε μια πλευρά δοσμένου τριγώνου κτλ και στην απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων αυτών, είναι το ορθόκεντρο του παραπάνω δοσμένου τριγώνου, καθώς αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον τρόπο απόδειξής δικής μου επινόησης, που έχει αναρτηθεί παραπάνω με το συνημμένο μου , τον Απρίλιο του και ώρα μ.μ και την οποία επαναφέρω παρακάτω με το .συνημμένο μου . Ακόμη αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .

Μετά τα παραπάνω, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας όλοι μαζί με το κυνήγι της ης απόδειξης, ενώ προσωπικά αναζητώ την η απόδειξη.

Σχόλια.
α. Την σχετική σύγκριση, με τις νέες αποδείξεις, της παραπάνω προτεινόμενης απόδειξης από τον Γιώργο, έγινε το τελευταίο τετραήμερο, που μου δόθηκε ευκαιρία.
β. Η παραπάνω απόδειξή μου του συνημμένου μου , είναι ενσωματωμένα, η κατασκευή των δύο ίσων με τις σχετικές ιδιότητές τους και η απόδειξη της Πρότασης ότι το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το ορθόκεντρο του δοσμένου τριγώνου, καθώς και εκεί αποδεικνύεται ότι τα τρία ύψη του τριγώνου αυτού, περνούν από την τομή αυτή.
γ. Σχετικές είναι και οι νέες αποδείξεις μου, που έχουν πάρει εδώ αριθμούς και και που έχουν δημοσιευτεί στο περιοδικό ΜΕΛ τεύχος τον Μάϊο του .
Ακόμη αυτές έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στον τόμο , παράγραφος .
δ. Όπως και παραπάνω έχω αναφέρει, θα αναρτήσω εδώ και τέσσερις νέες αποδείξεις μου, που δεν μου δόθηκε χρόνος γι’ αυτό, μέχρι τώρα.

Ευχές


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο πολύ ωραία, από δικής μου πλευράς ας παρατηρήσω απλώς ότι την παραπάνω κατασκευή σου ακολούθησε, χωρίς βέβαια να το γνωρίζει, ο Διονύσης Αδαμόπουλος εδώ.

Σ' ευχαριστούμε, για μια ακόμη φορά!

Γιώργο, θέλω να ευχαριστήσω εσένα και όλους τους φίλους που λάβατε μέρος στην εποικοδομητική συζήτηση ΕΔΩ, γιατί γίνατε αιτία να βγουν στο φως πολλά, ωραία και χρήσιμα στοιχεία.

Όσο ειδικά για σένα, αισθάνομαι την ανάγκη να σου αφιερώσω, την παραπάνω απόδειξή μου του συνημμένου μου .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Mihalis_Lambrou]

Βιαστικά γιατί σε λίγες ώρες φεύγω για πολύ μεγάλο ταξίδι στο εξωτερικό (11 ώρες πτήση) και δεν έχω πολλά χρονικά περιθώρια.

Το σχόλιό μου είναι το ίδιο με προηγούμενες φορές: Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τι ακριβώς σημαίνει "νέα απόδειξη" (ακόμα και αν
παραβλέψουμε καταγραφή της σε κάποιο δυσεύρετο κείμενο ή σε κάποιο κείμενο που τυχαίνει να μην το γνωρίζουμε).

Νέα απόδειξη ΔΕΝ σημαίνει μικρή, τετριμμένη, παραλλαγή μιας γνωστής. Νέα απόδειξη σημαίνει ουσιωδώς διαφορετική, που βασίζεται σε άλλη
ιδέα από τις προηγούμενες. Όπως γράφει ο Euler, "κάποιοι βλέπουν ομοιότητες μεταξύ θεωρημάτων, κάποιοι πιο δυνατοί βλέπουν ομοιότητες μεταξύ αποδείξεων και κάποιοι ακόμα πιο δυνατοί βλέπουν ομοιότητες μεταξύ θεωριών"

Στο θέμα μας: Ισχυρίζομαι ότι η απόδειξη δεν είναι πραγματικά νέα γιατί είναι ουσιωδώς η ίδια με την απόδειξη (γνωστή στον Απολλώνιο και επαναλαμβάνεται σε πολλά κείμενα, π.χ. σε ένα άρθρο που είχε το περιοδικό QUANTUM, και σίγουρα στο εδώ φόρουμ) με την απόδειξη που θεωρεί τους συμμετρικούς του περιγεγραμμένου κύκλου ως προς δύο πλευρές του τριγώνου. Σε αυτή την απόδειξη το δεύτερο κοινό τους σημείο αποδεικνύεται απλά ότι είναι το ορθόκεντρο (και βρίσκεται στο συμμετρικό του περιγεγραμμένου κύκλου ως προς την τρίτη πλευρά).

Στην απόδειξη η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για το συμμετρικό του περιγρεγγραμμένου κύκλου, ως άνω, πήραμε το συμμετρικό του κέντρου του. Αλλά αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΠΡΑΓΜΑ με πριν. Η διαφορά είναι επουσιώδης.

Αν κάποιος επιμένει ότι δεν είναι το ίδιο, τότε ας δώσω στο πνεύμα του άπειρες "νέες αποδείξεις", για να κλείνουμε μια για πάντα με αυτό το θέμα:

Θεωρώ στο , όπου το περίκεντρο και το μέσον της ,σημείο με , για δοσμένο φυσικό αριθμό. Βρίσκω το συμμετρικό του ως προς την Προεκτείνω το μέχρι το σημείο έτσι ώστε . Γράφω τώρα τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα (*), Συνεχίζω τώρα όπως στην Απόδειξη , ή του Απολλωνίου ή του Quantum (είναι ιδιες). Και λοιπά.

Έκανα άλλη απόδειξη; Αν ναι, έχω άπειρες αποδείξεις, μία για κάθε ; Μερικοί μπορεί να πουν ΝΑΙ.

Εγώ όμως λέω ότι ΟΧΙ, δεν έκανα άλλη απόδειξη, πόσο μάλλον άπειρες νέες. Για όποιον δεν το παρατήρησε, στο (*) το είναι το συμμετρικό του ως προς την . Απλά παρουσιάστηκε με "δύσκολο" τρόπο. Ισχυρίζομαι ότι οι "νέες αποδείξεις" που έκανα είναι ουσιαστικά μία: Η ίδια με την που είναι ίδια με του Απολλωνίου που είναι ίδια με του Quantum (και εμφανίζεται σε πολλά ακόμα σημεία, τουλάχιστον πριν από χρόνια). Ο ρόλος του είναι επουσιώδης. Στο ίδιο πνεύμα μπορώ να κάνω άπειρες ίδιες αποδείξεις αλλά με πιο κρυμμένη η ομοιότητα. Έκανα διαφορετικές αποδείξεις. ΟΧΙ θα πει ο Euler, παραπάνω.

[ΝΙΚΟΣ]

Βιαστικά γιατί σε λίγες ώρες φεύγω για πολύ μεγάλο ταξίδι στο εξωτερικό (11 ώρες πτήση) και δεν έχω πολλά χρονικά περιθώρια.

Το σχόλιό μου είναι το ίδιο με προηγούμενες φορές: Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τι ακριβώς σημαίνει "νέα απόδειξη" (ακόμα και αν
παραβλέψουμε καταγραφή της σε κάποιο δυσεύρετο κείμενο ή σε κάποιο κείμενο που τυχαίνει να μην το γνωρίζουμε).

Νέα απόδειξη ΔΕΝ σημαίνει μικρή, τετριμμένη, παραλλαγή μιας γνωστής. Νέα απόδειξη σημαίνει ουσιωδώς διαφορετική, που βασίζεται σε άλλη
ιδέα από τις προηγούμενες. Όπως γράφει ο Euler, "κάποιοι βλέπουν ομοιότητες μεταξύ θεωρημάτων, κάποιοι πιο δυνατοί βλέπουν ομοιότητες μεταξύ αποδείξεων και κάποιοι ακόμα πιο δυνατοί βλέπουν ομοιότητες μεταξύ θεωριών"

Στο θέμα μας: Ισχυρίζομαι ότι η απόδειξη δεν είναι πραγματικά νέα γιατί είναι ουσιωδώς η ίδια με την απόδειξη (γνωστή στον Απολλώνιο και επαναλαμβάνεται σε πολλά κείμενα, π.χ. σε ένα άρθρο που είχε το περιοδικό QUANTUM, και σίγουρα στο εδώ φόρουμ) με την απόδειξη που θεωρεί τους συμμετρικούς του περιγεγραμμένου κύκλου ως προς δύο πλευρές του τριγώνου. Σε αυτή την απόδειξη το δεύτερο κοινό τους σημείο αποδεικνύεται απλά ότι είναι το ορθόκεντρο (και βρίσκεται στο συμμετρικό του περιγεγραμμένου κύκλου ως προς την τρίτη πλευρά).

Στην απόδειξη η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για το συμμετρικό του περιγρεγγραμμένου κύκλου, ως άνω, πήραμε το συμμετρικό του κέντρου του. Αλλά αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΠΡΑΓΜΑ με πριν. Η διαφορά είναι επουσιώδης.

Αν κάποιος επιμένει ότι δεν είναι το ίδιο, τότε ας δώσω στο πνεύμα του άπειρες "νέες αποδείξεις", για να κλείνουμε μια για πάντα με αυτό το θέμα:

Θεωρώ στο , όπου το περίκεντρο και το μέσον της ,σημείο με , για δοσμένο φυσικό αριθμό. Βρίσκω το συμμετρικό του ως προς την Προεκτείνω το μέχρι το σημείο έτσι ώστε . Γράφω τώρα τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα (*), Συνεχίζω τώρα όπως στην Απόδειξη , ή του Απολλωνίου ή του Quantum (είναι ιδιες). Και λοιπά.

Έκανα άλλη απόδειξη; Αν ναι, έχω άπειρες αποδείξεις, μία για κάθε ; Μερικοί μπορεί να πουν ΝΑΙ.

Εγώ όμως λέω ότι ΟΧΙ, δεν έκανα άλλη απόδειξη, πόσο μάλλον άπειρες νέες. Για όποιον δεν το παρατήρησε, στο (*) το είναι το συμμετρικό του ως προς την . Απλά παρουσιάστηκε με "δύσκολο" τρόπο. Ισχυρίζομαι ότι οι "νέες αποδείξεις" που έκανα είναι ουσιαστικά μία: Η ίδια με την που είναι ίδια με του Απολλωνίου που είναι ίδια με του Quantum (και εμφανίζεται σε πολλά ακόμα σημεία, τουλάχιστον πριν από χρόνια). Ο ρόλος του είναι επουσιώδης. Στο ίδιο πνεύμα μπορώ να κάνω άπειρες ίδιες αποδείξεις αλλά με πιο κρυμμένη η ομοιότητα. Έκανα διαφορετικές αποδείξεις. ΟΧΙ θα πει ο Euler, παραπάνω.

Αγαπητέ Μιχάλη,
επιμένεις σε αυτά που έχεις ισχυρισθεί πολλές φορές και σου έχουμε απαντήσει εδώ πάντοτε. Το ερώτημα είναι: Μήπως δε βλέπεις τις απαντήσεις μας; καθώς πάντοτε είσαι βιαστικός και επανέρχεσαι αργότερα στα ίδια, πιο οξύς και απόλυτος;
Αν λοιπόν είχες διαβάσει αυτές, πιστεύουμε ότι δεν θα χρειαζόταν να επανέρχεσαι.

Οι φράσεις «ουσιώδης διαφορά» και «επουσιώδης διαφορά», μεταξύ δύο αποδείξεων, δεν είναι κάτι απόλυτο, αλλά προσωπικό και σχετικό. Η καθεμιά από αυτές έχει μια διαβάθμιση και όπου τελειώνει η μία αρχίζει η άλλη. Αυτή άλλωστε είναι και μια εκδοχή του ο Euler, όπως και εσύ αναφέρεις.

Θα φέρω ένα παράδειγμα για να «τελειώνουμε», αφού εσύ θέλεις παραδείγματα:
Αν λοιπόν, για δύο αποδείξεις ενός Θεωρήματος, δέκα κριτές κρίνουν, οι πέντε ότι έχουν ουσιώδη διαφορά και οι άλλοι πέντε επουσιώδη διαφορά, τότε που θα τις εντάξουμε;

Το πνεύμα (η λογική) που εδώ εργαζόμαστε συλλογικά, αναφέρεται στις παραπάνω απαντήσεις μας, όπου φαίνεται και ο ορισμός του νέου τρόπου απόδειξης ενός Θεωρήματος, κτλ.
Είναι η ίδια λογική που εφαρμόζεται και στο βιβλίο του Loomis, στο οποίο αναφέρονται αποδείξεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και που τώρα έχω ακούσει ότι αυτές, έχουν υπερβεί τις .
Στο QUANTUM αναφέρονται έξι αποδείξεις.
Στην σχετική ομιλία σου στη Νάουσα, αν θυμάμαι καλά, ανάφερες περί τους οκτώ τρόπους απόδειξης, αρχαίων, παλιότερων, κτλ.
Με μία άλλη ακραία εκδοχή του Euler και στις τρεις περιπτώσεις αυτές, θα έπρεπε οι τρόποι να μη διαφέρουν, ομοίως οι έξι , αλλά και οι οκτώ.
Έτσι με την ακραία εκδοχή αυτή προκύπτει, ότι το βιβλίο του Loomis, είναι άχρηστο.
Τελικά με την ακραία εκδοχή αυτή του Euler, δεν θα ξεχωρίζαμε Γεωμετρία, Άλγεβρα, Ανάλυση, κτλ, παρά μόνο Μαθηματικά.

Με τη δική μας λοιπόν λογική εδώ, η απόδειξη του QUANTUM πιστεύουμε ότι, δε μπορεί να θεωρηθεί η ίδια με τη δική μας απόδειξη , γιατί εκεί χρησιμοποιούνται τόξα, γωνίες, κτλ, και ακολουθεί τελείως διαφορετικό σκεπτικό.
Αν πιστεύαμε ότι οι παραπάνω δύο αποδείξεις είναι οι ίδιες, τότε δεν θα είχαμε κανένα πρόβλημα για να το αποδεχθούμε, όπως ευχαρίστως κάναμε και παλιότερα για μία άλλη απόδειξη του Νεύτωνα που μου αφιέρωσες, η οποία είναι πραγματικά ίδια με εκείνη που εδώ της έχουμε δώσει αριθμό . Τούτο αναφέρεται και στην επισυναπτόμενη (επαναφερόμενη) παρακάτω απάντησή της Μάη .
Μπορούμε όμως να τις χαρακτηρίσουμε σχετικές, όπως έχουμε χαρακτηρίσει και τις και , που και αυτές χρησιμοποιούν τους τρεις συμμετρικούς κύκλους με τον περίκυκλο, ως προς τις αντίστοιχες πλευρές, τριγώνου.

Άλλωστε, την απόδειξη του QUANTUM, την έχουμε συμπεριλάβει στις αποδείξεις μας, με αριθμό και επομένως μπορεί να την συγκρίνει με την και τις και , και κάθε καλοπροαίρετος κριτής και να βγάλει τα συμπεράσματά του. Εδώ εμείς τα έχουμε όλα στο φως και τίποτα κρυφό.

Ακόμη έχω να πω ότι με τις απόψεις μας αυτές συμφωνούν και όλοι όσοι μας έχουν επισκεφθεί εδώ ( φορές), καθώς δεν έχουμε καμιά ένσταση μέχρι τώρα (εκτός από τις δικές σου), για τις αποδείξεις, που εδώ έχουμε συζητήσει και γιατί όσα εδώ αποφασίζουμε συλλογικά, δεν είναι τελικά, καθώς όταν φθάσουμε περί τις αποδείξεις, εμείς ή οι επερχόμενοι θα προτείνουμε στην ΕΜΕ, να συγκροτήσει μια πχ πενταμελή ή επταμελή επιτροπή, από αμερόληπτους, φανατικούς και πολύ έμπειρους Γεωμέτρες, για να πάρουν και τις τελικές σχετικές αποφάσεις, καθώς εμείς εδώ δεν διεκδικούμε το αλάνθαστο, γι’ αυτό και σε όλα τα βιβλία μας παντού, επιζητούμε τα σχόλια άλλων, για να βελτιωνόμαστε.

Τελικά όλες οι αποδείξεις αυτές στις οποίες θα καταλήξει η παραπάνω επιτροπή, από εμάς ή από τους επερχόμενους, θα αποτελέσουν ένα βιβλίο, ανάλογο με εκείνο του Loomis και του οποίου το πρώτο Μέρος προτείνουμε να αποτελέσει το ιστορικό του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου, που θα μας δώσει ο Μιχάλης.

Όσο για το λανθασμένο παράδειγμα Πρότασης που αναφέρεις και δίνεις απόδειξη με λανθασμένη σκέψη, δεν έχει σχέση με τη δική μας προσπάθεια, γιατί εμείς εδώ μιλάμε μόνο για σωστές Προτάσεις και σωστές αποδείξεις και όχι παραπλανητικές (τρικ).

Επαναφέρω παρακάτω την τελευταία απάντησή μας της Μάη , σε προηγούμενα σχόλιά σου, με την ελπίδα ότι αυτή τη φορά, θα βρεις το χρόνο να την διαβάσεις:

"Αγαπητέ Μιχάλη Καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, τη συμμετοχή σου για τέταρτη φορά και την συμβολή σου στην εδώ παλιά προσπάθειά μου, αλλά και για τις πολύτιμες πληροφορίες που μας δίνεις, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου.
Ακόμη σε ευχαριστώ για την ανάρτηση της παραπάνω μιας ακόμη σχετικής απόδειξης, η οποία εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι δεν έχει σχέση με τις παραπάνω , οπότε και θα πάρει τον αριθμό , όταν μου δοθεί η ευκαιρία να εξακριβώσω τούτο και να πάρω οριστική θέση (Για την απόδειξη αυτή, έχω κάποια ερωτηματικά, στα οποία πιστεύω ότι θα απαντήσω).

Προ έξι ετών περίπου και που επανήλθα προ τεσσάρων ετών, σου είχα ζητήσει εδώ να μας δώσεις όλες τις σχετικές αποδείξεις που αναφέρεις ότι έχεις εντοπίσει και που είχες πει ότι θα εύρισκες ευκαιρία και θα μας τις έδινες. Όμως μέχρι τώρα δεν μας τις έδωσες. Τούτο όμως είναι ανάγκη εκ των πραγμάτων να υλοποιηθεί, καθώς τότε θα ξεκαθαρίσει η κατάσταση εδώ, αλλιώς το πρόβλημα αυτό θα παραμένει σε εκκρεμότητα. Θα μπορούσαμε δηλαδή έτσι να αποφανθούμε ποιες από τις εδώ αποδείξεις υπάρχουν πραγματικά στη βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αναθεωρήσουμε και τη θέση μας, για όσες από τις παραπάνω 69 αποδείξεις προϋπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία, όπως έγινε και με μια απόδειξη του Νεύτωνα, που μου αφιέρωσες, προ ετών, η οποία αντικατέστησε μία δική μου και την οποία χαρακτήριζα ως νέα πρωτοεμφανιζόμενη (α.α ).

Αυτός άλλωστε είναι και ένας λόγος που έχουμε προβεί στη δημοσίευσή τους στο mathematica, καθώς έτσι είναι δυνατό να ξεκαθαρίσουν πραγματικά ποιες αποδείξεις είναι νέες και πρωτοεμφανίζονται εδώ.

Χάρηκα, όταν προ τετραετίας μου αφιέρωσες εδώ στο mathematica την παραπάνω αναφερόμενη σχετική απόδειξη, η οποία όπως μου έγραψες, είχε επινοηθεί από τον Νεύτωνα και η οποία διαπίστωσα τότε ότι αυτή συνέπιπτε με μία δική μου από αυτές που χαρακτήριζα νέες. Η χαρά μου ήταν δικαιολογημένη, καθώς τούτο θεώρησα πολύ τιμητικό για μένα και κολακευτικό.

Δεν είναι κακό και απίθανο, κάποιες από τις παραπάνω αποδείξεις να συμπίπτουν με κάποιες άλλες παλαιότερες της διεθνούς βιβλιογραφίας όλων των εποχών. Είναι όμως απίθανο να συμπίπτουν όλες, Όπως και εσύ αναγράφεις.

Πάντως τώρα εδώ «νέες και πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις» χαρακτηρίζουμε εκείνες που εδώ εμείς μέχρι τώρα βλέπουμε για πρώτη φορά. Μέχρι τότε που θα μας δοθούν παλαιές αποδείξεις που προϋπάρχουν, θα συνεχίζουμε να τις χαρακτηρίζουμε όπως πρώτα, μέχρι αποδείξεως του αντιθέτου, μετά θα αναθεωρήσουμε τον χαρακτηρισμό αυτό για κάποιες από αυτές που ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ προϋπάρχουν στη βιβλιογραφία.

Ας σημειωθεί εδώ, ότι μεταξύ άλλων, η κύρια προσπάθειά μας είναι να συγκεντρώσουμε όσο γίνεται περισσότερες νέες σχετικές αποδείξεις (νέες, παλαιές, αρχαίες, όσες υπάρχουν), αν είναι δυνατό και με τα ονόματα εκείνων που πρώτοι τις επινόησαν, καθώς ένας από τους στόχους μας είναι, αφού ξεκαθαρίσουν τα πράγματα, όλες αυτές να αποτελέσουν ένα βιβλίο, ανάλογο με το βιβλίο των αποδείξεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος, το οποίο ως γνωστό περιέχει περισσότερες από αποδείξεις, μεταξύ των οποίων μάλιστα μερικές, έχουν επινοηθεί από πολύ μεγάλες προσωπικότητες.

Για να επιτευχθούν όμως τα παραπάνω απαιτείται μεγάλη συλλογική προσπάθεια και βοήθεια από τους φίλους, για αυτό άλλωστε τις δημοσιεύουμε και στο mathematica, όπως και παραπάνω αναφέραμε. Όσο για τις 46 αποδείξεις, που χαρακτηρίζω «δικές μου», θα τις χαρακτηρίζω έτσι, μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου, γιατί πιστεύω ότι οι περισσότερες είναι πραγματικά νέες, καθώς πολλές έχουν βασισθεί σε νέα λήμματα που επινόησα ειδικά, για να στηριχθούν οι αποδείξεις αυτές.

Μετά τα παραπάνω, παρακαλούμε το φίλο Μιχάλη, όπως και όποιον άλλο φίλο έχει υπόψη του κάποιες παλαιές σχετικές αποδείξεις να τις αναρτήσει εδώ, ώστε να λυθεί το πρόβλημά μας αυτό, για να μη διαιωνίζεται.
Επειδή είμαι πεπεισμένος ότι ο Μιχάλης θέλει, θα ανταποκριθεί στο κάλεσμά μας αυτό, όταν μπορέσει, τον ευχαριστούμε εκ των προτέρων.

Μου κάνει εντύπωση πως στο βιβλίο Ασκήσεων των Ιησουϊτών, δεν περιέχονται πολλές τέτοιες παλαιές σχετικές αποδείξεις. Στο βιβλίο αυτό στην παράγραφο , αναφέρεται το Θεώρημα αυτό και χαρακτηρίζεται ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη. Εκεί δίνεται μια πολύ γνωστή και έξυπνη απόδειξή του η οποία αναφέρεται ως απόδειξη Gauss, ενώ εμείς εδώ της έχουμε δώσει α. α. . Ακόμη στο ίδιο βιβλίο και στην παράγραφο α, δίνεται και μια άλλη κομψή απόδειξη, που και αυτή συμπεριλαμβάνεται στις παραπάνω .

Όσο για την σχετική ομιλία σου Μιχάλη , που θα γίνει την Ιουνίου στην Αθήνα, προφανώς πολύ θα ήθελα να την ακούσω, καθώς όπως εδώ γίνεται φανερό και εγώ έχω ασχοληθεί πολύ με το Θεώρημα αυτό (και όχι μόνο), ερευνώντας για πολλά χρόνια σε διάφορες βιβλιοθήκες κτλ, αλλά δυστυχώς δεν θα μπορέσω λόγω αποστάσεως. Ελπίζω όμως ότι θα αναρτηθεί στο mathematica και θα την απολαύσω".


Με μεγάλη αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

Συγνώμη, αν κάπου χρησιμοποίησα έντονο ύφος. Απλά χρησιμοποίησα το ίδιο ύφος που χρησιμοποιείς και εσύ.

Μιχάλη άσχετα με τα παραπάνω και σε κάθε περίπτωση, σε ευχαριστούμε πολύ, για τη συμμετοχή σου εδώ για πολλοστή φορά και γιατί μας έδωσες την ευκαιρία να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα και να αποδείξουμε ότι κάθε άποψη εδώ είναι ευπρόσδεκτη και σεβαστή.
Προσοχή όμως. Δεν πρέπει να προσπαθούμε να επιβάλουμε την δική μας άποψη, σε καμιά περίπτωση, γιατί μπορεί να είναι λανθασμένη.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου , την η απλή και πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ απόδειξη, που αποτελεί και την απόδειξη δικής μου επινόησης.

Έτσι αισίως και με τους όρους που παραπάνω έχουμε θέσει, στο κυνήγι των νέων αποδείξεων, αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την η απόδειξη και προσωπικά αναζητώ την 49η.

Σημειώσεις.
(α). Μετά και την παραπάνω απλή απόδειξη βγαίνει το συμπέρασμα ότι είναι δυνατή η επινόηση και πολλών άλλων αποδείξεων και μάλιστα απλών, για την Πρόταση β(). Σας καλώ λοιπόν σε μια νέα προσπάθεια για την επίτευξη, προς το παρόν, της ης πρώτο-εμφανιζόμενης απόδειξης.
(β). Αποδείξαμε παραπάνω στον τρόπο, ότι η Πρόταση β(), αληθεύει για οξυγώνιο τρίγωνο, οπότε σύμφωνα με την ενιαία απόδειξή της, που έχουμε επισυνάψει στον τρόπο απόδειξης, αυτή θα αληθεύει και για αμβλυγώνια τρίγωνα. Συνεπώς, για κάθε νέα απόδειξη της Πρότασης αυτής, δεν είναι αναγκαίο να συνοδεύεται η απόδειξη αυτής και για αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αρκεί μόνο για οξυγώνιο.

Ευχές, για πολλές και κομψές νέες αποδείξεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου , την η απλή και πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ απόδειξη, που αποτελεί και την απόδειξη δικής μου επινόησης.

Έτσι αισίως και με τους όρους που παραπάνω έχουμε θέσει, στο κυνήγι των νέων αποδείξεων, αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την η απόδειξη και προσωπικά αναζητώ την 50η.

Σημειώσεις.
(α). Μετά και την παραπάνω απλή απόδειξη βγαίνει το συμπέρασμα ότι είναι δυνατή η επινόηση και πολλών άλλων αποδείξεων και μάλιστα απλών, για την Πρόταση β(). Σας καλώ λοιπόν σε μια νέα προσπάθεια για την επίτευξη, προς το παρόν, της ης πρώτο-εμφανιζόμενης απόδειξης.
(β). Αποδείξαμε παραπάνω στον τρόπο, ότι η Πρόταση β(), αληθεύει για οξυγώνιο τρίγωνο, οπότε σύμφωνα με την ενιαία απόδειξή της, που έχουμε επισυνάψει στον τρόπο απόδειξης, αυτή θα αληθεύει και για αμβλυγώνια τρίγωνα.
Συνεπώς, για κάθε νέα απόδειξη της Πρότασης αυτής, δεν είναι αναγκαίο να συνοδεύεται η απόδειξη αυτής και για αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αρκεί μόνο για οξυγώνιο.

Ευχές, για πολλές και κομψές νέες αποδείξεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[Mihalis_Lambrou]

.
Για την ιστορία, από το ποστ στο #111 παραπάνω αντιγράφω μία παράγραφο που είχα γράψει:

... Θέλω να επισημάνω ότι πολλές από τις φερόμενες παραπάνω ως
πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις απέχουν πολύ από το να είναι πρωτοεμφανιζόμενες. Υπάρχουν σε Γεωμετρίες
τουλάχιστον πριν από 250 χρόνια.

.
Στο ποστ #111 δίνω μερικά παραδείγματα. Τώρα αναρτώ άλλο ένα. Το συγκεκριμένο είναι από το βιβλιαράκι (μόλις 24 σελίδων) Strena Mathematica του Welandus, έκδοση 1640.

Μπορείτε να το κατεβάσετε από εδώ, στα Λατινικά, αλλά λίγες γραμμές παρακάτω παραθέτω το σημείο που μας ενδιαφέρει.

Για την απόδειξη ο Welandus φέρνει τα ύψη και μετά συνδέει την κορυφή με την τομή τους . To πρώτο βήμα είναι (βλέπε το σχήμα) να προεκτείνει το κατά ίσο τμήμα . Συνεχίστε τώρα μόνοι σας από το Λατινικό συνημμένο, καθώς διαβάζεται σχετικά εύκολα και είναι μικρό.
.

strena.png (157.52 KiB) Προβλήθηκε 4587 φορές

.
Επισημαίνω ότι ούτε η προ 400 ετών απόδειξη του Welandus δεν είναι ακραιφνώς πρωτοεμφανιζόμενη, αλλά μιμείται με επουσιώδη διαφορά αντίστοιχη στην Συναγωγή του Πάππου, κεφάλαιο 7, που αποδίδεται στον Απολλώνιο. Δηλαδή, πάμε άλλα 1800 χρόνια νωρίτερα.

Ας επαναλάβω ότι έχω δει σχεδόν όλες, αν όχι όλες, τις παραπάνω χαρακτηρισμένες ως πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις του παρόντως θρεντ, στη παλαιά βιβλιογραφία. Αυτή που παραθέτω τώρα είναι ο πρόγονος της απόδειξης υπ΄αριθ. 60 (εκτός από επουσιώδεις διαφορές και μάλιστα επί το δυσκολότερο).

Κάτι ανάλογο με τις υπόλοιπες.

Υ.Γ.
Είχα αναφερθεί στο Strena Mathematica εδώ

[Mihalis_Lambrou]

.
Κάποια στιγμή θα προσθέσω και άλλες αποδείξεις από πολύ παλιά βιβλία. Μερικές έχουν ενδιαφέρον.

Επίσης επισυνάπτω εδώ το λινκ μιας βιντεοσκοπημένης ομιλίας που έκανα στην Νάουσα το 2017, σχετικά με την ιστορία του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Διαρκεί 1 ώρα και 45 λεπτά. Έχω ασχοληθεί πάρα πολύ με το θέμα, αλλά έχω έκτοτε και αρκετό νέο υλικό που δεν φαίνεται πουθενά.

[Mihalis_Lambrou]

Γράφω μία βελτίωση της απόδειξης είχα γράψει στο ποστ #124, λίγες σελίδες παραπάνω, οι ρίζες της οποίας είναι στον Αρχιμήδη, του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Υπενθυμίζω ότι η εν λόγω απόδειξη είναι από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη και περιέχεται ως βήμα μέσα στη απόδειξη της Πρότασης 12 στο Περί Λημμάτων του. Το κείμενο σώζεται μόνο σε ελλειπή αραβική μετάφραση, και η απόδειξη που έδωσα στο ποστ #124 είναι ανασύσταση του πρωτοτύπου.

Τώρα γράφω μία καλύτερη και απλούστερη ανασύσταση. Από μόνη της μου φαίνεται μία ωραιότατη, αυτόνομη απόδειξη. Η συμβολή μου είναι μόνο τετριμμένη προσθήκη στο ελλειπές αρχαίο κείμενο, αλλά δεν την έχω δει πουθενά.

Θα κάνω χρήση (όπως έκανα στο ποστ #124) του εξής απλού αποτελέσματος του Αρχιμήδη το οποίο ίδιος αφήνει αναπόδεικτο, αλλά παραπέμπει στο, δυστυχώς, επίσης χαμένο έργο του Περί τετραπλεύρων. Σύμφωνα με αυτό

Αν σε ένα τετράπλευρο είναι και το άθροισμα των γωνιών ισούται με την γωνία , τότε ο κύκλος που διέρχεται από τα έχει το ως κέντρο.

Υπενθυμίζω ότι είχα θέσει στο mathematica ως άσκηση εδώ να δοθούν αποδείξεις του βήματος αυτού, πράγμα που έγινε με επιτυχία.

Στο θέμα μας, να δείξουμε με βάση τον Αρχιμήδη ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν:

Φέρνουμε τα ύψη , και έστω ότι τέμνονται στο και ότι τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα .

Επειδή έχουμε ότι οι χορδές . Επίσης έχουμε και (ίσα τόξα). Τέλος, από το εγγράψιμο έχουμε .

Με άλλα λόγια ισχύουν οι υποθέσεις του παραπάνω λήμματος. Έπεται ότι ο κύκλος κέντρου και ακτίνας διέρχεταi από το , που σημαίνει ότι (ισοσκελές τρίγωνο) και άρα .

Έπεται τώρα ότι το είναι εγγράψιμο, οπότε . Συνεπώς το είναι ύψος, και άρα τα ύψη συγκλίνουν.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Παραπέμπω στο παραπάνω σχόλιό μου, ποστ 163.


Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

Έχω πει πολλές φορές στο παρόν θρεντ ότι σχεδόν όλες αν όχι όλες οι εδώ αποδείξεις υπάρχουν ήδη προ αιώνος και βάλε, αλλά δεν φαίνεται να γίνομαι πιστευτός, παρ' όλα τα παραδείγματα που έχω δώσει. Για την ιστορική ακρίβεια και για αποφυγή παρεξηγήσεων κάνω άλλη μία προσπάθεια. Αυτή την φορά θα είμαι όσο πιο αναλυτικός γίνεται. Αργότερα θα προσθέσω και άλλα ανάλογα συντριπτικά ιστορικά στοιχεία.

Από τα ποστ 53 και 57 αντιγράφω
.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου, τυχαίνει να συμπίπτει με την 22η απόδειξή, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» τεύχος 10/2001, αλλά και με το βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 4 παράγραφος 4η(70)/1999.

.

…λόγια, που αναφέρονται στην Πρότασή μου 2ζ(13), την οποία εγώ θεωρώ δική μου μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου. Δηλαδή μέχρι να βρεθεί έγκυρο έντυπο (κατοχυρωμένο), που να περιλαμβάνει την Πρόταση αυτή με απόδειξή της και να έχει γραφεί προ της 30 -1-1997

.
Και επίσης παραθέτω την αντίστοιχη απόδειξη με "κοπή και αντιγραφή" από την δοθείσα παραπομπή.
.

Kyriazis isogon 2.png (120.83 KiB) Προβλήθηκε 4264 φορές

.

Να όμως που η απόδειξη αυτή υπάρχει (σε πολλά μέρη) πριν από ενάμισο αιώνα, και βάλε. Δίνω δύο παραπομπές.

Η μία είναι από το βιβλίο του Booth, New Geometrical Methods , τόμος 2 (1877), σελίδες 260-261. Σε αυτό το σημείο ο Booth αποδεικνύει το θεώρημα για τις ισοκλινείς και αμέσως μετά έχει ως εφαρμογή ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν καθώς είναι ισοκλινείς των ευθειών που συνδέουν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με τις κορυφές του τριγώνου. Χαρείτε το κείμενο, το οποίο παραθέτω ατόφιο στο παρακάτω συνημμένο.

Μπορεί κανείς να κατεβάσει ολόκληρο το βιβλίο του Booth από εδώ. Είναι υπέροχο βιβλίο, και αξίζει να το διαβάσετε από την σελίδα 256 και πέρα.

Η δεύτερη παραπομπή είναι αρκετά παλαιότερη, δύο αιώνες πριν, σε άρθρο στα Γαλλικά του μέγα Γερμανού Γεωμέτρη Jacob Steiner. Η παραπομπή είναι στα περίφημα Annales de Gergonne, τόμος XIX, του 1828, σελίδες 37-64. Επίσης υπάρχει αναδημοσιευμένο στα Άπαντα του Steiner, Gesammelte Werke του 1881, τόμος I, σελίς 193 (1881). Και τα δύο υπάρχουν στο ίντερνετ. Και σε αυτή την περίπτωση, ο Steiner δείχνει το γενικό θεώρημα για ισοκλινείς, και ως εφαρμογή έχει την περίπτωση των υψών.

Αυτά για την ιστορική ακρίβεια.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Προκειμένου να απαντήσω, θα ήθελα την μετάφραση των παραπάνω κειμένων.

Για τα υπόλοιπα, παραπέμπω και πάλι στο παραπάνω ποστ 163.



Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

.
Κάνω άλλη μία προσπάθεια αποκατάστασης της ιστορικής ακρίβειας, με αφορμή το ποστ #21 παραπάνω:

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου, τυχαίνει να συμπίπτει με την 44η απόδειξή, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» τεύχος 10/2001, αλλά και με το βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 5 παράγραφος 5θ(201) / 2001.

Και για σύγκριση με τα παρακάτω δίνω το σχετικό χωρίο από τα «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», τόμος 5 σελίς 318 (ηλεκτρονικά 323)
.

Kyriaz orthiko.png (129.13 KiB) Προβλήθηκε 4227 φορές

.

Η αληθινή πρώτη εμφάνιση της συγκεκριμένης απόδειξης είναι είναι πριν από ενάμιση αιώνα σε άρθρο του Mollmann στο περίφημο Archiv der Mathematik und Physik, τόμος XVII του 1851, σελίς 376. Μπορείτε να κατεβάσετε ολόκληρο τον τόμο από εδώ, πράγμα που σας συνιστώ να το κάνετε γιατί θα βρείτε και πολλά άλλα ενδιαφέροντα θέματα.

Για να διευκολύνω τον αναγνώστη παραθέτω το σχετικό χωρίο. Η ανάγνωσή του είναι απλή ακόμη και αν κάποιος δεν ξέρει Γερμανικά, κάνοντας χρήση του μικρού λεξικού: Hohen = ύψος, Fusspunkte = ίχνος, Winkel = γωνία, Punkte = σημείο, Schneiden = τέμνονται.
.

Mollman Archiv.png (86.73 KiB) Προβλήθηκε 4227 φορές

.
Η ίδια απόδειξη με παραπομπή στον Mollmann υπάρχει εδώ και πάνω από έναν αιώνα στο Mackay, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, τόμος 1 του 1883, σελίς 60. Παραθέτω το σχετικό χωρίο. Μικρό λεξικό από τα Αγγλικά: perpendiculars = κάθετες, concyclic = ομοκυκλικά, bisectors = διχοτόμοι, concurrent = συγκλίνουν.

Ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω. Περισσότερα από αυτά δεν μπορώ να κάνω.
.

mackay Proc Ed.png (50.56 KiB) Προβλήθηκε 4227 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω.

Μετά από αυτό, διακόπτω τη συζήτηση.

Για τα υπόλοιπα, παραπέμπω στα παραπάνω ποστ 171, 163, 136, 129, 122.


Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

.
Για να συνοψίσουμε, αντιγράφω από τα παραπάνω ποστ
.

Προ έξι ετών περίπου και που επανήλθα προ τεσσάρων ετών, σου είχα ζητήσει εδώ να μας δώσεις όλες τις σχετικές αποδείξεις που αναφέρεις ότι έχεις εντοπίσει και που είχες πει ότι θα εύρισκες ευκαιρία και θα μας τις έδινες. Όμως μέχρι τώρα δεν μας τις έδωσες. Τούτο όμως είναι ανάγκη εκ των πραγμάτων να υλοποιηθεί, καθώς τότε θα ξεκαθαρίσει η κατάσταση εδώ, αλλιώς το πρόβλημα αυτό θα παραμένει σε εκκρεμότητα. Θα μπορούσαμε δηλαδή έτσι να αποφανθούμε ποιες από τις εδώ αποδείξεις υπάρχουν πραγματικά στη βιβλιογραφία ...

.
Έκανα ακριβώς αυτό που ζήτησες.

Ας κρίνουν οι αναγνώστες.

Επιφυλάσσομαι να αναρτήσω στο μέλλον είτε α) την αληθινή πρώτη εμφάνιση κάποιων από τις παραπάνω αποδείξεις, ή αντίστροφα, β) αποδείξεις από την παλιά βιβλιογραφία (16ου έως 18ου αιώνα) οι οποίες δεν έχουν εμφανιστεί στα παραπάνω.

[ΝΙΚΟΣ]

Ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω.

Μετά τούτου κα την αποφυγή να δοθούν οι σχετικές μεταφράσεις, διακόπτω τη συζήτηση.

Για τα υπόλοιπα, παραπέμπω στα παραπάνω ποστ 171, 163, 136, 129, 122.


Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

Μετά τούτου κα την αποφυγή να δοθούν οι σχετικές μεταφράσεις, διακόπτω τη συζήτηση.
[/quote]

Για μετάφραση μπορείς να χρησιμοποιήσεις το Google translate.

Όπως και να είναι, θα σε διεύκολύνω και θα το κάνω ο ίδιος για το ποστ #170, για να μην βγάζεις το συμπέρασμα ότι προσπαθούμε να κρύψουμε κάτι. Άλλωστε το διάβασαν αρκετοί άλλοι, και όλοι συμφωνούν ότι το περιεχόμενό του είναι αυτό που ισχυρίζεται ότι είναι.

Για το #172 ήδη μερίμνησα να δώσω μετάφραση των κύριων λέξεων. Το κείμενο είναι αρκετά μικρό που ο καθένας μπορεί να βγάλει άκρη, και χωρίς γνώση της συγκεκριμένης ξένης γλώσσας.

[Mihalis_Lambrou]

Παραθέτω την μετάφραση των χωρίων στο #170, από το βιβλίο του Booth. Υπόψη ότι νωρίτερα είχε δημοσιευθεί το ίδιο θεώρημα από τον Steiner (έδωσα δύο παραπομπές). Όποιος επιθυμεί, μπορεί να χρησιμοποιήσει το Google translate για μετάφρασή τους, όπως ακριβώς έκανα ο ίδιος για το χωρίο του Booth.

154.] Από τις κορυφές A, B, C ενός τριγώνου, σχεδιάζονται ζεύγη ευθειών, κάνοντας με τις προσκείμενες πλευρές ίσες γωνίες a, a, b, b, g, g. Εάν το πρώτο σύνολο των τριών ευθειών διέρχεται από ένα κοινό σημείο 0, το δεύτερο σύνολο θα διέλεθει επίσης σε ένα κοινό σημείο Q.


Ως εκ τούτου προκύπτει προφανώς ότι δεδομένου ότι η κάθετη που σχεδιάζεται στην απέναντι πλευρά από οποιαδήποτε κορυφή ενός τριγώνου και η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου που διέρχεται από την ίδια κορυφή, δημιουργούν ίσες γωνίες με τις προσκείμενες πλευρές, εάν ένα σύνολο από αυτές τις ευθείες διέρχεται από ένα κοινό σημείο , το άλλο σύνολο θα περάσει επίσης από ένα κοινό σημείο. Αλλά οι διάμετροι του περιγεγραμμένου κύκλου που διέρχονται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου συντρέχουν σε ένα σημείο, το κέντρο, άρα και οι τρεις κάθετες συναντώνται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο, που εμφανίζεται συχνά στην ανώτερη γεωμετρία, έχει ονομαστεί από ορισμένους γεωμέτρες ορθόκεντρο. Στο εξής θα υιοθετούμε αυτόν τον όρο. Το τρίγωνο που σχηματίζεται από την ένωση των ιχνών αυτών των καθέτων μπορεί κατάλληλα να ονομαστεί ορθικό τρίγωνο.

[ΝΙΚΟΣ]

Ενημέρωση.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί επετεύχθη ο πρώτος μου στόχος για τις 76 αποδείξεις του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών Τριγώνου, που ήταν η δημιουργία βιβλίου με αυτές μόνο τις αποδείξεις. Το βιβλίο αυτό έχει ήδη δημοσιευθεί και θα το βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Θεώρημα Σύγκλισης Υψών Τριγώνου (76 αποδείξεις) 2026
Ή, άμεσα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ECoVuC ... L_h1g/view

Σήμερα ξεκινά η επίτευξη του δεύτερου στόχου μου, που είναι να καθαρογραφούν στον υπολογιστή τα πρόχειρα χειρόγραφα του παραπάνω βιβλίου, να ενταχθούν σε αυτό και άλλες πολλές νέες και σημαντικές αποδείξεις, τις οποίες ήδη έχω υπόψη μου και να σταλεί ολοκληρωμένο το βιβλίο αυτό, στο βιβλίο Γκίνες, όπως και πολλοί φίλοι μου είχαν προτείνει.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Ενημέρωση
Αγαπητοί φίλοι,
στη συνέχεια του παραπάνω ποστ 178, έχω τη χαρά να σας κάνω γνωστό ότι έχω επιτύχει την 77η απλή και πρώτο-εμφανιζόμενη εδώ απόδειξη του Θεωρήματος αυτού, που αποτελεί και την 50 απόδειξη δικής μου επινόησης.

Έτσι αισίως και με τους όρους που παραπάνω έχουμε θέσει, στο κυνήγι των νέων αποδείξεων, αναζητάμε πλέον όλοι μαζί την 78η απόδειξη και προσωπικά αναζητώ την 51η.

Σημειώσεις.
(α). Μετά και την παραπάνω απλή απόδειξη που βασίζεται στην κατασκευή βοηθητικού συμμετρικού τριγώνου, του τριγώνου αναφοράς με άξονα συμμετρίας μια πλευρά του τριγώνου, βγαίνει το συμπέρασμα ότι είναι δυνατή η επινόηση και πολλών άλλων αποδείξεων και μάλιστα απλών, για την Πρόταση 1β(4). Σας καλώ λοιπόν σε μια νέα προσπάθεια για την επίτευξη, προς το παρόν, της 78ης πρώτο-εμφανιζόμενης απόδειξης.
(β). Την απόδειξη αυτή έχω καταχωρίσει στο τεύχος 11 του βιβλίου μου Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, παράγραφος 11/9, την οποία θα αναρτήσω και εδώ, όταν μου δοθεί η ευκαιρία.

Ευχές, για πολλές και κομψές νέες αποδείξεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.