ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

#1

ΘΕΜΑ 13
΄Εστω συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty )$ ώστε $2f(x)+f^2(x)=2\displaystyle \int_0^x e^{-f(t)} dt$ και f(0)=0

1. Να δείξετε ότι : $1+f(x)\ne 0$ , f γνήσια αύξουσα  και $f(x)>0 ,\forall x>0$
2. Να δείξετε ότι $f(x)e^{f(x)}=x , \forall x\ge 0$
3. Αφού δείξετε ότι lny<y

δείξτε ότι $2f(x)>lnx, \forall x>0$
4. Να βρείτε το $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$ καθώς και το σύνολο τιμών της

5. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y=x

είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο

6. Να δείξετε ότι η

στρέφει τα κοίλα κάτω και επιπλέον ισχύει $f(x)<x,\forall x>0$
7. Αφού εξηγήσετε γιατί η

είναι αντιστρέψιμη, να βρείτε τον τύπο της $f ^{-1}(x)$ .
8. Να κατασκευάσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f.
9. Να υπολογίσετε τα: $f(e), f(e^{e+1})$ .
10. Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος: $\displaystyle \int_0^e f(t) +\displaystyle \int_0^1 f^{-1}(t) dt$
11. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη της στο 0 και την ευθεία $x=\lambda e^{\lambda}$
12. Να βρείτε το : $\displaystyle \lim_{\lambda \to +\infty}E(\lambda)$

Είναι άλλο ενα θεμα που είχα ανεβάσει στο Art of solving problems μου άρεσε και είπα να το έχουμε και εμείς εδώ Νομίζω ότι είναι καλό για επανάληψη

Χρηστος · #2

καλή
1. άτοπο ανίσωση ολοκλ. μονοτονία κτλ
2.

#3

Στο συνημμένο υπάρχει η λύση του θέματος 13

#4

ευχαριστούμε πολύ

paganini · #5

δεν ειναι και τοσο δα απαιτητικο!:P

ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

Re: ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

Re: ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

Re: ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

Re: ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 13

Μέλη σε σύνδεση