Μία ετεροχρονισμένη :)

mathxl · #1

Μετά τις εξετάσεις για όποιον έχει διάθεση και υπομονή

#2

A) i) Αρκεί $\displaystyle{h(x)\geq0}$ για $\displaystyle{x\in[a,b]}$ .

Όμως $\displaystyle{h{'}(x)=f{'}(x)-f{'}\big(\frac{a+b}{2}\big)}$ στο $\displaystyle{(a,b)}$ και

$\displaystyle{h{''}(x)=f{''}(x)>0}$ στο $\displaystyle{(a,b)}$ , άρα η $\displaystyle{h{'}(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(a,b)}$ .

Έπεται ότι $\displaystyle{a<x<\frac{a+b}{2}\Rightarrow h{'}(x)<h{'}\big(\frac{a+b}{2}\big)=0\Rightarrow h \nearrow_{[a,\frac{a+b}{2}]}}$ και

$\displaystyle{\frac{a+b}{2}<x<b\Rightarrow 0=h{'}\big(\frac{a+b}{2}\big)<h{'}(x)\Rightarrow h \searrow_{[\frac{a+b}{2},b]}}$ .

Έχουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{\begin{cases}a\leq x\leq\frac{a+b}{2}\Rightarrow0=h\big(\frac{a+b}{2}\big)\leq h(x) \\ \qquad \qquad\wedge \\ \frac{a+b}{2}\leq x\leq b\Rightarrow0=h\big(\frac{a+b}{2}\big)\leq h(x)\end{cases}\Rightarrow h(x)\geq0\,\,\,\forall x\in[a,b]}$

A) ii) Αρκεί $\displaystyle{g(x)\leq0}$ για $\displaystyle{x\in[a,b]}$ .

Όμως $\displaystyle{g{'}(x)=f{'}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ στο $\displaystyle{(a,b)}$ και

$\displaystyle{g{''}(x)=f{''}(x)>0}$ στο $\displaystyle{(a,b)}$ , άρα η $\displaystyle{g{'}(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(a,b)}$ .

Επειδή τώρα είναι $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f{'}(\xi)}$ για κάποιο $\displaystyle{\xi\in(a,b)}$ , θα έχουμε

$\displaystyle{\begin{cases}a<x<\xi\Rightarrow f{'}(x)<f{'}(\xi)\Rightarrow g{'}(x)<0 \\ \qquad\qquad \wedge \\ \xi<x<b\Rightarrow g{'}(x)>0\end{cases}\Rightarrow}g\nearrow_{[a,\xi]}\wedge g\searrow_{[\xi,b]}$ .

Έχουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{\begin{cases}a\leq x\leq\xi\Rightarrow g(x)\leq g(a)=0 \\ \qquad\qquad \wedge \\ \xi\leq x\leq b\Rightarrow g(x)\leq g(b)=0\end{cases}\Rightarrow g(x)\leq0\,\,\forall x\in[a,b]}$ .

B) i) $\displaystyle{x\to0^+\stackrel{DLH}{\longrightarrow}x\ln x\to0\Rightarrow r(x)\to1=r(0)}$ , άρα η $\displaystyle{r(x)}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ .

B) ii) $\displaystyle{r{'}(x)=(\ln x+1)e^{x\ln x}}$ για x>0

και $\displaystyle{r{''}(x)=e^{x\ln x}\Big(\frac{1}{x}+(\ln x+1)^{2}\Big)>0}$ για $\displaystyle{x>0}$ άρα η $\displaystyle{r(x)}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ .

B) iii) Έστω $\displaystyle{a,y>0}$ με $\displaystyle{a<1<y<1/a}$ . Τότε

$\displaystyle{\int_{a}^{1/a}x^{x}\,dx=\underbrace{\int_{a}^{y}e^{x\ln x}\,dx}_{>0}+\int_{y}^{1/a}e^{x\ln x}\,dx>\int_{y}^{1/a}e^{x\ln y}\,dx\stackrel{x\ln y=u}{=}\frac{1}{\ln y}\int_{y\ln y}^{\ln y/a}e^u\,du=\frac{e^{\ln y/a}-e^{y\ln y}}{\ln y}\stackrel{a\to0^+}{\longrightarrow}+\infty}$ .

B) iv) Η $\displaystyle{r(x)}$ έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο $\displaystyle{(1/e,e^{-1/e})}$ και η $\displaystyle{C_{r}}$ έχει εφαπτομένες στα σημεία $\displaystyle{(1/e,e^{-1/e})}$ και $\displaystyle{(1,1)}$ τις ευθείες $\displaystyle{y=e^{-1/e}}$ και $\displaystyle{y=x}$ αντίστοιχα οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{(e^{-1/e},e^{-1/e})}$ .

Λόγω της κυρτότητας έχουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{x}\,dx>\int_{0}^{e^{-1/e}}e^{-1/e}\,dx+\int_{e^{-1/e}}^{1}x\,dx=\frac{1+e^{-2/e}}{2}\approx0.739>0.707\approx\sqrt{2}/2}$ .

B) v) Η εξίσωση γράφεται στη μορφή $\displaystyle{r(x+2010)-r(x)=2011^{2011}-1}$ και έχει προφανή λύση την $\displaystyle{x=1}$ .

Αν θέσουμε τώρα $\displaystyle{h(x):=r(x+2010)-r(x)}$ , θα είναι $\displaystyle{h{'}(x)=r{'}(x+2010)-r{'}(x)>0}$ στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ επειδή η $\displaystyle{r{'}}$ είναι γνησίως αύξουσα. Έπεται ότι λύση είναι μοναδική.

A )iii) Για την γεωμετρική ερμηνεία του i):

Επειδή η ανίσωση μπορεί να γραφτεί στη μορφή

$\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle\frac{f(x)-f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)}{x-\frac{a+b}{2}}\geq f{'}\Big(\frac{a+b}{2}\Big), x\in\Big(\frac{a+b}{2},b\Big] \\ \displaystyle\frac{f(x)-f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)}{x-\frac{a+b}{2}}\leq f{'}\Big(\frac{a+b}{2}\Big), x\in\Big[a,\frac{a+b}{2}\Big)\end{cases}}$ μας λέει ότι λόγω της κυρτότητας της $\displaystyle{f}$

η κλίση κάθε ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{\Big(\frac{a+b}{2},f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\Big)}$ και $\displaystyle{(x,f(x))}$ είναι μικρότερη ή ίση από αυτή της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_{f}}$ στο $\displaystyle{\Big(\frac{a+b}{2},f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)\Big)}$ όταν $\displaystyle{x\in\Big[a,\frac{a+b}{2}\Big)}$ ενώ είναι μεγαλύτερη όταν $\displaystyle{x\in\Big(\frac{a+b}{2},b\Big]}$ .

Για την γεωμετρική ερμηνεία του ii):

Επειδή η ανίσωση μπορεί να γραφτεί στη μορφή

$\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leq\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, x\in(a,b]\end{cases}}$ μας λέει ότι πάλι λόγω της κυρτότητας της $\displaystyle{f}$ ,

η κλίση κάθε ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{(a,f(a))}$ και $\displaystyle{(x,f(x))}$ για $\displaystyle{x\in(a,b]}$ είναι μικρότερη ή ίση από την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{(a,f(a))}$ και $\displaystyle{(b,f(b))}$ .

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{n}}\approx0.783431}$ Έχει αναφερθεί σε άλλο ποστ.

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Πολύ ωραία άσκηση Βασίλη, τώρα μπορώ να το πω έστω και ετεροχρονισμένα, πιθανό θέμα εξετάσεων!!!

mathxl · #4

Τάσο ευχαριστώ για την λύση σου. Η δική μου προσέγγιση είναι στο pdf.
Μάκη έχεις εμπλουτίσει το λεξιλόγιο μου, μετά από το πμ που μου έστειλες

Το θέμα το σκέφτηκα από την ανισότητα χέρμιτ -χανταμαρίδη για σχολική έκδοση (υπάρχει αντίστοιχο θέμα στο φάκελο του καθηγητή viewtopic.php?f=61&t=1202)

#5

Βασίλη πολύ ωραία η λύση σου με το κάθε υποερώτημα να βασίζεται στα προηγούμενα. Εγώ το Β το έχω λύσει εντελώς ανεξάρτητα από το Α μάλλον επειδή ερμήνευσα διαφορετικά τη γεωμετρία της υπόθεσης..

mathxl · #6

Και συνεχίζοντας (από κάτι που βρήκα στο ίντερνετ και κολλάει με αυτήν)
Έστω
$\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {r\left( x \right) + r\left( {1 - x} \right),x \in \left( {0,1} \right)} \\ {2,x = 0 \vee x = 1} \\ \end{array}} \right.}$
Να δείξετε ότι
$\displaystyle{i. g\left( x \right) \ge \sqrt 2 }$
$\displaystyle{ii. {x^{1 - x}} + {\left( {1 - x} \right)^x} > 1}$
$\displaystyle{iii. \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} + 2\sqrt 2 \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{g\left( x \right)}}} \le 2 + \sqrt 2 }$

Μία ετεροχρονισμένη :)

Μία ετεροχρονισμένη :)

Re: Μία ετεροχρονισμένη :)

Re: Μία ετεροχρονισμένη :)

Re: Μία ετεροχρονισμένη :)

Re: Μία ετεροχρονισμένη :)

Re: Μία ετεροχρονισμένη :)

Μέλη σε σύνδεση