Επαναληπτική μιγαδικών.(Δελτίο Νο:10)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

Με αφορμή την ασκήση μιγαδικών viewtopic.php?f=51&t=294 καθώς και ενα παλαιότερο αρθρο του κ.Στεργίου (το οποίο και επισυνάπτω),θα ήθελα να ασχολήθούμε (αν και έχει γίνει πολλές φορές) με την παρακάτω άσκηση.Η άσκηση βρίσκεται στο βοήθημα του κ.Παπαδάκη (σελ 109,θέμα 3)

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονταί οι μιγαδικοί αριθμοί z και w για τους οποίους ισχύουν:
$\displaystyle{\left| {(1 + i)z - 2 - 4i} \right| = \sqrt {18} }$ και $\displaystyle{w = 2z - 11 + 5i}$

Να βρείτε:
α)Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
β)Την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| z \right|}$
γ)Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w
δ)Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left| {z - w} \right|}$

Εχω μια ένσταση για την διατύπωση του γ.Κατι παρόμοιο υπάρχει και στις σημειώσεις του κ.Μπουνάκη (σελ 10-11), viewtopic.php?f=78&t=3482 καθώς και για το αποτέλεσμα του δ.Οι απαντήσεις του βοηθήματος δίνουν 1 ελαχιστο και 19 μέγιστο.

vanalex · #2

Καλησπέρα σε όλους! Να δώσω μία προσέγγιση της άσκησης και να την συζητήσουμε:

α) $\left|\left(1+i \right)z-2-4i \right|=\sqrt{18}\Leftrightarrow \left|1+i \right|\left|z-\frac{2+4i}{1+i} \right|=\sqrt{18}\Leftrightarrow \left|z-(3-i) \right|=3$

Αρα ο γ.τ. στον οποίο κινείται ο z είναι: $\left(x-3 \right)^{2}+\left(y+1 \right)^{2}=9$ κύκλος με κέντρο $K_{1}=(3, -1)$ και ακτίνα $R_{1}=3$

β) Ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται στο σημείο (0, -1) και η μέγιστη τιμή του $\left|z \right|$ είναι:

$\left|z \right|_{max}=OK_{1}+R_{1}=\sqrt{(3-0)^{2}+(-1-0)^{2}}+3=\sqrt{10}+3$

Αντίστοιχα η ελάχιστη τιμή του $\left|z \right|$ είναι:

$\left|z \right|_{min}=OK_{1}-R_{1}=\sqrt{(3-0)^{2}+(-1-0)^{2}}-3=\sqrt{10}-3$

γ) Λύνοντας τη δοθείσα σχέση w=2z-11+5i

ως προς z προκύπτει: $z=\frac{w+11-5i}{2}$ και αντικαθιστώντας στη σχέση που βρήκαμε στο α) ερώτημα: $\left|z-(3-i) \right|=3$ καταλήγουμε στη σχέση

$\left|w-(-5+7i) \right|=6$ . Έτσι και ο δεύτερος γ.τ. στον οποίο κινούνται οι εικόνες του w είναι πάλι κύκλος με κέντρο $K_{2}=(-5, 7)$ και ακτίνα $R_{2}=6$ : $\left(x+5 \right)^{2}+\left(y-7 \right)^{2}=36$

δ) Οι δύο παραπάνω κύκλοι είναι τεμνόμενοι και τα κέντρα τους έχουν την ίδια τεταγμένη, οπότε η ελάχιστη απόσταση του μέτρου $\left|z-w \right|$ βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο των δύο κύκλων.Αυτή η απόσταση είναι ίση με 1 και ορίζεται από τα σημεία (0, -1) για τον πρώτο κύκλο και (1, -1) για τον δεύτερο κύκλο (σ' αυτό το σημείο είμαι λίγο απαράδεκτος αφού θα έπρεπε να παραθέσω και σχήμα, αλλά τώρα μαθαίνω το geogebra). Η μέγιστη ζητούμενη απόσταση είναι: $\left|z-w \right|_{max}=2R_{1}+2R_{2}+(AB)=6+12+1=18+1=19$ όπου (ΑΒ) είναι η ελάχιστη τιμή του μέτρου $\left|z-w \right|$ που βρήκαμε πριν.

Δημήτρη θα χαιρόμουν να μου πεις τη δική σου σκέψη και το δικό σου αποτέλεσμα ώστε να διορθώσω τυχόν λάθος μου.

Φιλικά

APO · #3

Αν δεν κάνω λάθος
|z-(11-5i)|
min : 7 και max : 13

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #4

Ας δώσω και την δική μου αντιμετώπιση.Περιμένω την αποψή σας για το τρίτο και τέταρτο ερώτημα.

vanalex · #5

Δημήτρη συμφωνώ απόλυτα μαζί σου! Παρασύρθηκα και (εκτός από το αριθμητικό λάθος στο τρίτο ερώτημα που έκανα) δεν έδωσα καθόλου σημασία στην αλληλοεξάρτηση των z, w. Πιστεύω ότι η σωστή λύση της άσκησης είναι αυτή που δίνεις στο αρχείο σου. Προσωπικά θα ήθελα να ακούσω όμως και άλλες απόψεις για το συγκεκριμένο θέμα.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #6

Κανόντας τα πρωτσ βήματα μου στο geogebra, δίνω και ενα αρχειο που δίχνει την κίνηση των εικόνων των μιγαδικών z και w καθώς και την μεταξύ τους απόσταση καθε φορά.
Αλέξη και το βιβλίο ως απάντηση 1 και 19 έχει,κατι που οπως βλέπουμε δεν ισχύει.

Σακελλαρίου Νίκος · #7

Καλησπέρα.
Ερώτηση στο 3ο ερώτημα.
Αν η εκφώνηση ελεγε :
Δίνονται οι μιγαδικοί z και w για τους οποιους ισχύουν :
$\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}=1$ και w=z

Να βρείτε:
i. Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z
ii. Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w

Τοτε στο 2ο ερώτημα θα ήταν λάθος η εκφώνηση ; Θα επρεπε πάλι να λέει να βρεθεί η καμπύλη πάνω στην οποια ανήκουν οι εικόνες του w ; Νομίζω οτι απο τη στιγμή που στην αρχή με δεδομένο $\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}=1$ λέμε οτι ο γ.τ. των Μ(z) είναι ο μοναδιαίος κύκλος (θεωρώντας οτι ο z διατρέχει ολόκληρο τον κύκλο (αν το λέω σωστά)) έτσι λέμε οτι και ο γ.τ. των Μ(w) είναι επίσης ο μοναδιαίος κύκλος .

pito · #8

Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Μπάμπη για το υπέροχο άρθρο !

Επαναληπτική μιγαδικών.(Δελτίο Νο:10)

Επαναληπτική μιγαδικών.(Δελτίο Νο:10)

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Re: Επαναληπτική μιγαδικών.

Μέλη σε σύνδεση