Τριγωνική ανισότητα

G.Tsikaloudakis · #1

Παραθέτω μια απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
$\displaystyle{\beta + \gamma > \alpha . \displaystyle{ \sigma \tau \omega {\rm{ {\rm A}\Delta \eta \delta \iota \chi o\tau \mu o\varsigma \tau o\upsilon {\rm A}{\rm B}\Gamma }} }$

Θέτουμε:
$\displaystyle{ {\rm{ }}\Theta \varepsilon \tau o\upsilon \mu \varepsilon :\widehat{A_1 } = \Delta \widehat{\rm A}\Gamma ,{\rm{ }}\widehat{{\rm{ }}A_2 } = \Delta \widehat{\rm A}{\rm B},{\rm{ }}\widehat{\Delta _1 } = {\rm A}\widehat\Delta \Gamma ,{\rm{ }}\widehat{\Delta _2 } = {\rm A}\widehat\Delta {\rm B},{\rm{ }} }$

Οπότε έχουμε:
$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \widehat\Delta _1 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_2 {\rm{ }} \Rightarrow \widehat\Delta _1 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_1 \Rightarrow \beta > \Delta \Gamma \\ \\ \widehat\Delta _2 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_1 {\rm{ }} \Rightarrow \widehat\Delta _2 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_2 \Rightarrow \gamma > \Delta B \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \beta + \gamma > \alpha }$

#2

Γιώργο, φαίνεται ενδιαφέρον αλλά έχω μία απορία.

Πρώτα από όλα διευκρινίζω ότι, όντας μακριά από την βιβλιοθήκη μου, δεν έχω το σχολικό βιβλίο μπροστά μου να δω σε τι ακριβώς βασίζει το θεώρημα που χρησιμοποιείς (απέναντι από μεγαλύτερη γωνία έχουμε μεγαλύτερη πλευρά). Μου φαίνεται όμως ότι μέσα της έχει την τριγωνική. Κάνω λάθος; Μένει προς διευκρίνηση.

Φιλικά,

Μιχάλης

G.Tsikaloudakis · #3

Μιχάλη Καλησπέρα.
Η Απόδειξη βασίζεται στα Θεώρηματα:
1ο '' η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε
μια από τις δύο άλλες γωνίες του τριγώνου''
2ο '' σε κάθε τρίγωνο απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται
μεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα''

και όχι στην τριγωνική ανισότητα.
Ευχαριστώ φιλικά Γιώργος.

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Μιχάλη, το βιβλίο πρώτα παρουσιάζει τις άνισες σχέσεις πλευρών και γωνιών και μετά δίνει την τριγωνική ανισότητα.

Το παράδοξο για μένα, ενώ είναι τόσο σημαντική η παράγραφος, οι οδηγίες λένε να μείνουμε 3 διδακτικές ώρες στα κεφάλαια 3.10 (εξωτερική γωνία) - 3.11 (άνισες πλευρές και γωνίες) - 3.12 (τριγωνική ανισότητα). Εγώ δεν μπορώ να μην σταθώ στην τριγωνική ανισότητα που την θεωρώ πολύ σημαντική για τους μαθητές.

Με την ευκαιρία παραθέτω ένα φυλλάδιο που είχα ετοιμάσει σε αυτό το κεφάλαιο (τριγωνική ανισότητα).

Νασιούλας Αντώνης · #5

Για την ιστορία να αναφέρω ότι στο σχολείο μου εδώ και πολλά χρόνια οι καθηγητές έχουν αποφασίσει από μόνοι τους και δεν διδάσκουν καθόλου τις ανισοτικές σχέσεις!!!
Αντώνης

kalfokat · #6

G.Tsikaloudakis έγραψε:Παραθέτω μια απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
$\displaystyle{\beta + \gamma > \alpha . \displaystyle{ \sigma \tau \omega {\rm{ {\rm A}\Delta \eta \delta \iota \chi o\tau \mu o\varsigma \tau o\upsilon {\rm A}{\rm B}\Gamma }} }$

Θέτουμε:
$\displaystyle{ {\rm{ }}\Theta \varepsilon \tau o\upsilon \mu \varepsilon :\widehat{A_1 } = \Delta \widehat{\rm A}\Gamma ,{\rm{ }}\widehat{{\rm{ }}A_2 } = \Delta \widehat{\rm A}{\rm B},{\rm{ }}\widehat{\Delta _1 } = {\rm A}\widehat\Delta \Gamma ,{\rm{ }}\widehat{\Delta _2 } = {\rm A}\widehat\Delta {\rm B},{\rm{ }} }$

Οπότε έχουμε:
$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \widehat\Delta _1 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_2 {\rm{ }} \Rightarrow \widehat\Delta _1 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_1 \Rightarrow \beta > \Delta \Gamma \\ \\ \widehat\Delta _2 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_1 {\rm{ }} \Rightarrow \widehat\Delta _2 {\rm{ > }}\widehat{\rm A}_2 \Rightarrow \gamma > \Delta B \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \beta + \gamma > \alpha }$

Καλησπέρα.
Η απόδειξη που αναφέρεται εδώ είναι η μία από τις αποδείξεις των επικριτών του Ευκλείδη. Νομίζω πως είναι η απόδειξη του Ήρωνα.

Τριγωνική ανισότητα

Τριγωνική ανισότητα

Re: Τριγωνική ανισότητα

Re: Τριγωνική ανισότητα

Re: Τριγωνική ανισότητα

Re: Τριγωνική ανισότητα

Re: Τριγωνική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση