Γεωμετρία - Τέμνονται επί της πλευράς.

#1

: Τέμνονται επί της πλευράς.jpg (27.02 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Τα σημεία $\displaystyle{K{\text{ }}{\text{, }}L{\text{ \& }}M}$ βρίσκονται επί των πλευρών $\displaystyle{AB{\text{ }}{\text{, }}BC{\text{ \& }}CD}$ τετραπλεύρου ABCD

. Αν οι $\displaystyle{KL{\text{ \& }}AC}$ τέμνονται στο σημείο

και οι $\displaystyle{ML{\text{ \& }}BD}$ τέμνονται στο σημείο

, να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{PM{\text{ \& }}QK}$ τέμνονται σε σημείο

, επί της πλευράς

.

#2

Σεραφείμ θα μου συγχωρέσεις μια παρατυπία

Προφανώς μιλάμε για το θεώρημα του Girard Desargues (1591-1661).
Επειδή το έχω ήδη στο αρχείο μου (και το αντίστροφο) θα χρησιμοποιήσω ένα δικό μου σχήμα και δικά μου γράμματα που έχω έτοιμο στο αρχείο μου

Συγνώμη

Το θεώρημα του Girard Desargues (1591-1661). Στο επίπεδο θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ και την αντιστοιχία: $\displaystyle{ {\rm A} \to {\rm A}',\;{\rm B} \to {\rm B}',\;\Gamma \to \Gamma ' }$
i) Αν οι ευθείες που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο, οι ευθείες των αντιστοίχων πλευρών των δύο τριγώνων θα τέμνονται σε σημεία συνευθειακά
ii) Αντιστρόφως: Αν οι πλευρές δύο τριγώνων ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ τέμνονται σε συνευθειακά σημεία τότε οι κορυφές που συνδέουν τις αντίστοιχες πλευρές του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Απόδειξη

i) Στα τρίγωνα ΟΑΓ, ΟΓΒ και ΟΒΓ εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσες αντίστοιχα : $\displaystyle{ \frac{{\Delta \Gamma }}{{\Delta {\rm A}}} \cdot \frac{{{\rm A}'{\rm A}}}{{{\rm A}'{\rm O}}} \cdot \frac{{\Gamma '{\rm O}}}{{\Gamma '\Gamma }} = 1:\left( 1 \right) }$ $\displaystyle{ \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} \cdot \frac{{\Gamma '\Gamma }}{{\Gamma '{\rm O}}} \cdot \frac{{{\rm B}'{\rm O}}}{{{\rm B}'{\rm B}}} = 1:\left( 2 \right) }$ και $\displaystyle{ \frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}{\rm B}}} \cdot \frac{{{\rm B}'{\rm B}}}{{{\rm B}'{\rm O}}} \cdot \frac{{{\rm A}'{\rm O}}}{{{\rm A}'{\rm A}}} = 1:\left( 3 \right) }$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2), (3) έχουμε: $\displaystyle{ \frac{{\Delta \Gamma }}{{\Delta {\rm A}}} \cdot \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Gamma }} \cdot \frac{{{\rm Z}{\rm A}}}{{{\rm Z}{\rm B}}} = 1 }$ οπότε από το αντίστροφο του Μενελάου τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

ii) Υποθέτουμε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά και έστω $\displaystyle{ {\rm O} = {\rm B}{\rm B}' \cap \Gamma \Gamma ' }$ . Θα δείξω ότι τα σημεία Α, Ο, Α’ είναι συνευθειακά.

Στα τρίγωνα ΖΒΒ’, ΔΓΓ’ οι ευθείες που ενώνουν τις κορυφές Β, Γ – Β’, Γ’ – Ζ, Δ διέρχονται από το ίδιο σημείο
άρα οι αντίστοιχες πλευρές τους, σύμφωνα με το ευθύ του θεωρήματος τα τέμνονται σε συνευθειακά σημεία,
δηλαδή τα Α, Ο, Α’ είναι συνευθειακά.

Φιλικά και Γεωμετρικά
Στάθης Κούτρας

#3

Μετά την (κλασσική) απόδειξη του Θ. Desargues που μας έδωσε ο Στάθης παραπάνω, παραθέτουμε και την απόδειξη της άσκησης.

: Τέμνονται επί της πλευράς - 2.jpg (33.84 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Έστω

είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{AD{\text{ \& }}QK}$ και

είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{MN{\text{ \& }}KL}$ .
Με εφαρμογή του Θ. Desargues στην δέσμη ευθειών $\displaystyle{QNK{\text{ }}{\text{, }}QDB{\text{ \& }}QML}$ , στα τρίγωνα $\displaystyle{KBL{\text{ \& }}NDM}$ , προκύπτει ότι τα σημεία $\displaystyle{A{\text{ }}{\text{, }}C{\text{ \& }}P'}$ είναι συνευθειακά, συνεπώς τα $\displaystyle{P{\text{ \& }}P'}$ ταυτίζονται και τελικά η

διέρχεται από το σημείο

.

Γεωμετρία - Τέμνονται επί της πλευράς.

Γεωμετρία - Τέμνονται επί της πλευράς.

Re: Γεωμετρία - Τέμνονται επί της πλευράς.

Re: Γεωμετρία - Τέμνονται επί της πλευράς.

Μέλη σε σύνδεση