Διχοτόμηση ημικυκλικού τομέα

KARKAR · #1

Ο καθηγητής Μαθηματικών , βάζει στους δύο μαθητές του το θέμα : Να φέρετε χορδή που να κόβει τον ημικυκλικό τομέα

σε

ίσα χωρία . Για να μην αντιγράψουν , ο πρώτος να το κάνει με χορδή παράλληλη προς τη διάμετρο

,

ενώ ο δεύτερος με χορδή της οποίας το ένα άκρο να είναι το άκρο

της διαμέτρου

Περιέργως , παρατήρησε μετά από λίγο , ότι ο ένας μαθητής προσπαθούσε να αντιγράψει .

Κανένας δεν έλυσε το πρόβλημά του , αλλά ο αντιγραφέας πήρε καλύτερο βαθμό (αλλά και μείωση διαγωγής!)

Τι να σκέφτηκε ο καθηγητής ; Λύνεται άραγε το πρόβλημα ;

Γιώργος Απόκης · #2

Έστω ότι ο μαθητής

ασχολήθηκε με το πρώτο σχήμα και ο

με το δεύτερο.

Για τον Α: Έστω

η ακτίνα του ημικυκλίου και $\widehat{SOT}=\omega$ με $0<\omega <\pi$ .
Πρέπει το εμβαδό του κυκλικού τμήματος E_1

να ισούται με το μισό του εμβαδού του ημικυκλικού τομέα. Δηλαδή,

$\displaystyle{E_{\tau o \mu \acute{\epsilon} a}-E_{\tau \rho \iota \gamma \acute{\omega} \nu o \upsilon }=\frac{1}{2}E_{\eta \mu \iota \kappa}\Leftrightarrow \frac{R^2\omega}{2}-\frac{1}{2}R\cdot R \sin \omega=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\pi R^2}\Leftrightarrow}$ $\displaystyle{\omega -\sin \omega=\frac{\pi}{2}}$ (1)

Για τον Β, ομοίως, πρέπει $\displaystyle{\frac{R^2\phi}{2}-\frac{1}{2}R\cdot R \sin \phi=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\pi R^2}\Leftrightarrow \phi -\sin \phi=\frac{\pi}{2}$ (2)

Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες, κι αυτό δικαιολογεί και το γιατί αντέγραψε ο ένας από τον άλλο!
Τώρα, πιθανότατα ο ένας να ξεκίνησε σωστά και να έδωσε την ιδέα στον άλλο (τον αντιγραφέα) που ήταν όμως πιο ικανός και έφτασε στην (1) ή τη (2)...
Δεν ξέρω αν με κάποια άλλη προσέγγιση φτάνουμε σε κάτι πιο ικανοποιητικό αλλά με γνώσεις Β΄Λυκείου δεν προχωράμε...

Γενικά, μπορούμε να προχωρήσουμε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x-\sin x-\frac{\pi}{2},x\in (0,\pi)}$ η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα

άρα θα έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}{\right)}$ που περιέχει το

. Άρα, υπάρχει $\omega \in (0,\pi)$ (μοναδικό λόγω της μονοτονίας) με $f(\omega)=0$ δηλ. η (1) (ή η (2)) έχει λύση.

Για τη λύση, με κάποια αριθμητική μέθοδο (χρησιμοποίησα Διχοτόμηση), βρίσκουμε ότι $\omega \simeq 2.3098~ rad$ ή $\omega \simeq 132.3^{o}$

Διχοτόμηση ημικυκλικού τομέα

Διχοτόμηση ημικυκλικού τομέα

Re: Διχοτόμηση ημικυκλικού τομέα

Μέλη σε σύνδεση