Έστω τρίγωνο $ABC$ και έστω $BD,CE$ τα ύψη που τέμνονται στο $H$. Για να δείξουμε οτι $AH$ κάθετη στην $BC$ σύμφωνα με το θεώρημα Koutras αρκεί να δείξουμε οτι $\displaystyle \frac{BH}{CH}=\frac{HD}{HE}$ ή αντίστοιχα $\displaystyle \frac{BH}{DH}=\frac{HC}{HE}$ το οποίο ισχύει απο την ομοιότητα των ...

Θα δείξω ότι η γενική πρόταση που ανέφερε ο Στάθης είναι άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Desarques. Περιγράφω το πώς παρακάτω.

Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ τυχόν σημείο $E$ στο εσωτερικό του. Στις $AE$, $BE$, $CE$ θεωρούμε τα σημεία $D$, $F$, $H$ ώστε
το $E$ να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $DFH ...

Πολύ όμορφη η λύση του Δημήτρη.

Σε παρόμοιο πνεύμα:

Ορίζουμε $T(n,m)$ (με $n\geq 1$ φυσικό, $m$ ακέραιο) το πλήθος των κ-καλών ακολουθιών μήκους $n$ με $m$ να ορίζεται ως το πλήθος των άσσων πλήν το πλήθος των μηδενικών στην ακολουθία.

Εύκολα βλέπουμε οτι $T(n,m)=0$ για $m\leq0$ εφόσον οι άσσοι ...

Έστω μία ακολουθία απο ρίψεις κερμάτων $x=x_1,x_2,...,x_n$ όπου $x_i \in \{0,1\}$. Το $1$ συμβολίζει κορόνα και το $0$ γράμματα.

Μία ακολουθία $x=x_1,x_2,...,x_n$ λέγεται π-καλή εάν για κάθε $k=1,2,...,n$ ισχύει οτι η υπακολουθία $x=x_1,x_2,...,x_k$ περιέχει περισσότερες κορόνες απ'οτι γράμματα. Πχ ...

http://i.imgur.com/m9ywtNg.png

Στο παραπάνω σχήμα υποθέτουμε οτι $OK$ κάθετη με την $PT$ και $L$ το σημείο τομής της $OK$ με την $AB$. Έστω $N$ το σημείο τομής της $SL$ με την $PT$. Τότε αρκεί να δείξουμε οτι $N$ είναι το μέσο της $PT$.

Αρχικά παρατηρούμε οτι $OKBT,APKO$ εγγράψιμα διότι $\angle ...

Συγχαρητήρια στον κύριο Κούτρα! :clap2:

Παραθέτω μία ακόμη λύση.

Έστω οτι $MN$ κάθετη με την $AB$. Έστω $L,S$ τα σημεία τομής της $MN$ με τις $AO,OB$ αντίστοιχα.

Τότε $\frac{SE}{EZ}=\frac{SM}{MN}$ και $\frac{LM}{MN}=\frac{LC}{CD}$ λόγω παραλληλίας.

Συνεπώς $\frac{EZ}{CD}=\frac{SE*LM}{SM*LC ...

Έστω $E',C'$ σημεία στην $SM$ ώστε $EE',CC'$ κάθετες στην $SM$. Τότε τα τρίγωνα $AEE'$ και $SAN$ είναι όμοια συνεπώς $\frac{EE'}{EA}=\frac{AN}{SA}$ συνεπώς $EE'=\frac{AN*EA}{SA}=\frac{AD*EA}{2*SA}$.

Ομοίως $CC'=\frac{AC*AB}{2*SA}$

$AC*AB=EA*AD$ λόγω ισεμβαδικότητας άρα $EE'=CC'$. Συνεπώς τα ...

Σχετικά με το δέυτερο ερώτημα:

Δύο ίσες γωνίες σε ίσους κύκλους βαίνουν σε τόξα ίσου μήκους. Άρα $BC=MC$ διότι $\widehat{BAC}=\widehat{MAC}=\widehat{A}$. Η συνέχεια όπως είπαν και άλλοι μας δίνει $b=\sqrt{2}a$.

Αυτή είναι αναγκαία συνθήκη. Για να δείξουμε οτι είναι ικανή αρκεί να παρατηρήσουμε ...

Η σωστή απάντηση (όπως υπέδειξε και ο nikkru) είναι $2^{n-2}$.

Η απόδειξη έχει ως εξής:

Θα δείξουμε οτι χρησιμοποιώντας τις παρενθέσεις με όλους τους δυνατούς τρόπους μπορούμε να δημιουργήσουμε όλα τα κλάσματα που έχουν το $a_1$ στον αριθμητή και το $a_2$ στον παρονομαστή. Εφόσον υπάρχουν $n-2 ...

Γειά σου Δημήτρη, το σκέφτηκα αυτό που λες και έχεις δίκαιο. Η λογική μου είναι πως αν και δημιουργούν το ίδιο κλάσμα ΚΑΤΟΠΙΝ αλγεβρικών χειρισμών, θα θεωρούσα αυτές τις δύο ως διαφορετικές παραστάσεις. Για παράδειγμα $x$ και $\frac{1}{\frac{1}{x}}$ είναι ισοδύναμες παραστασεις αλλά δεν είναι ίδιες ...

Έστω $K_n$ ο αριθμός των παραστάσεων όταν έχουμε $n$ στοιχεία.

Τότε προφανώς $K_1=K_2=1$ διότι μπορούμε να ομαδοποιήσουμε $1$ και $2$ στοιχεία με μοναδικό τρόπο.

Για $n$ στοιχεία ισχύει $K_n=\sum_{i=1}^{n-1}K_iK_{n-i}$. Ο λόγος είναι οτι μπορούμε να διαλέξουμε με $n-1$ τρόπους το σημείο στο οποίο ...

Εάν θεωρήσουμε οτι το κάθε δωμάτιο είναι μία κορυφή γράφου (συμπεριλαμβάνουμε ως δωμάτιο το εξωτερικό χωρίο) και κάθε κοινή πλευρά ανάμεσα σε δωμάτια είναι μία ακμή, τότε δημιουργείται γράφος με 6 κορυφές. Η κορυφή που συμβολίζει το εξωτερικό χωρίο είναι σε επαφή με 9 ακμές, 3 κορυφές είναι σε επαφή ...

Θα δείξουμε οτι πάλι ο Αντρέας έχει στατηγική νίκης. Θα αποδείξουμε την εξής πρόταση:

Για κάθε πίνακα $A$ μήκους $n \geq 3$ ο Αντρέας μπορεί να διαλέξει κινήσεις ώστε να δημιουργήσει σίγουρα ένα απο τα $2$ παρακάτω ενδεχόμενα:

(i) Ενδεχόμενο πρώτο : Τουλάχιστον ένα απο τα δύο άκρα του πίνακα είναι ...

Θα δείξουμε οτι ο Αντρέας έχει στρατηγική νίκης.

Θα αποδείξουμε οτι για κάθε πίνακα με $n$ στοιχεία ($n\geq 2$) μπορούμε να διαλέξουμε κινήσεις ώστε, άσχετα με το τι κινήσεις θα διαλέξει ο Βασίλης, τουλάχιστον ένα απο τα δύο άκρα είναι πολλαπλάσιο του $3$. Τότε εύκολα βλέπουμε οτι προχωρώντας ...

Παραθέτω μία λύση.

Ας υποθέσουμε οτι υπάρχει ακολουθία τέτοιων κινήσεων ώστε σε κάθε κελί να έχουμε γραμμένο τον αριθμό $2012$. Ορίζουμε ως πίνακα βημάτων τον $5x5$ πίνακα ο οποίος σε κάθε κελί περιέχει τον αριθμό των βημάτων τα οποία έγιναν με κέντρο το συγκεκριμένο κελί. (Όταν γράφω κέντρο εννοώ ...

Έστω δοσμένο το $m$. Κάθε θετικός ακέραιος $d\leq m$ διαιρεί ακριβώς $\lfloor \frac{m}{d} \rfloor$ θετικούς ακεραίους που είναι μικρότεροι ή ίσοι του $m$. Συνεπώς στο άθροισμα $\sum_{n=1}^{m}f(n)$, το κάθε $\frac{1}{1+d}$ εμφανίζεται $\lfloor \frac{m}{d} \rfloor$ φορές. Συνεπώς:

$\displaystyle{\sum ...

Νομίζω λύθηκε το πρόβλημα.

Χαίρεται.

Αντιμετωπίζω ένα πρόβλημα όταν θέλω να απαντήσω σε μία δημοσίευση. Ζητείται να παρέχω τουλάχιστον 3 tags ωστόσο για απάντηση σε δημοσίευση αυτό είναι αδύνατο.

Αντιμετωπίζει κανείς παρόμοιο πρόβλημα?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

taratoris έγραψε:
Εφόσον τουλάχιστον ένας εκ των είναι περιττός, το ζητούμενο έπεται.

Για ξανακοίταξε το.

Διόρθωση πάνω. Ευχαριστώ

Έστω $n$ ένας περιττός ακέραιος. Τότε $n=2x+1$ για κάποιον ακέραιο $x$. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε $n=2x+1=(x+1)^2-x^2$.

Εαν τουλάχιστον ένας εκ των $a,b,a+b$ είναι περιττός, το ζητούμενο έπεται.

Διαφορετικά $a,b$ είναι άρτιοι. Άρα ισούνται με $0$ ή $2$ $mod(4)$. Εάν και οι δύο ισούνται με $2 ...