Καλησπέρα,

Προσπαθώ να λύσω αυτήν την άσκηση αλλά δεν φαίνεται να καταλήγω στο επιθυμητό αποτέλεσμα

Έστω οι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις και στο με τιμές θετικές,
ώστε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση στο

Έστω η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3$ με $f(x)\neq 3$ κοντά στο 2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}$

ερώτηση αν θέσουμε f(x)=y γίνεται D.L.H

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f^{2}(x)-9}{f(x)-3}=\lim_{y\rightarrow 3 ...

Aν κατάλαβα σωστά η εξίσωση έχει μοναδική λύση δίοτι
είναι γνησίως αύξουσα και

Ευχαριστώ για την υπόδειξη

B.
$f^3(x)+f(x)=e^x+x$, $x\in R$ (1)

για $x_{0}\in R}$ έχουμε $f^3(x_{0})+f(x_{0})=e^{x_{0}}+x_{0}$

άρα $f^3(x)+f(x)-f^3(x_{0})-f(x_{0})=e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0} \Rightarrow$

$f^3(x)-f^3(x_{0})+f(x)-f(x_{0})=e^x+x-e^{x_{0}}-x_{0}\Rightarrow$

$(f(x)-f(x_{0}))(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0}))+ (f(x)-f ...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση$f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει
$f^{3}(x)+3f(x)=x$ , για κάθε $x\in R$ με $f(1)=a$
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα$I=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Λύση
Για $x=0$ έχουμε $f^{3}(0)+3f(0)=0\Rightarrow f(0)[f^{2}(0)+3]=0\Rightarrow f(0)=0$

$I=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1 ...

βρήκα αυτό
1.png
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=133&t=27105

αν $f(x)=\frac{1}{x}-lnx$ με $x\in (0,1]$
έχουμε $f(A)= [1,+\infty)$

H εξίσωση $f(x)= \frac{3}{2}$ έχει μια τουλάχιστον λύση στο $(0,1]$ διότι $\frac{3}{2}\in f(A)$

H εξίσωση $f(x)= 1$ έχει μια τουλάχιστον λύση στο ...

γνωρίζω ότι
Αν $\kappa \in f(A)$ τότε ή εξίσωση $f(x)=\kappa$ έχει μια τουλάχιστον λύση στο Α
και ότι προκύπτει από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

1. μπορεί κάποιος να το εξηγήσει
2. αν το $\kappa$ είναι άκρο του$f(A)$ υπάρχει κάποια παρατήρηση που πρέπει να κάνουμε
(γιατί σε κάποια άσκηση το ...

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}-3x+2}{5+\eta \mu x}$

$-1\leq \eta \mu x\leqslant 1\Rightarrow 4\leq 5+\eta \mu x\leqslant 6\Rightarrow \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{5+\eta \mu x}\leqslant \frac{1}{4}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^{2}-3x+2)=\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty$
άρα ...

$(gof)(x)=-3f(x)+5x-5$ για κάθε $x\in R$
$(gof)(x)+3f(x)=5x-5$ για κάθε $x\in R$ (1)

Θεωρούμε $h(x)=g(x)+3x$ , $x\in R$
$h(0)=g(0)+3\cdot0=0$, η $g$ διέρχεται από την αρχή αξόνων $( g(0)=0 )$

$x_{1}, x_{2}\in R$ με $x_{1}<x_{2}$

$x_{1}< x_{2}\Rightarrow g(x_{1})<g(x_{2})$, η $g$ γνησίως αύξουσα ...

Άσκηση

Έστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση . Αν $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0$ να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-2\eta \mu f(x)}{f(x)+1-\sigma\upsilon \nu f(x)}$

Λύση

θέτουμε $f(x)=u$ τότε $u_{0}=\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0$ άρα

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-2\eta \mu f(x)}{f ...

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις

Τους περιορισμούς τους έβαλα για να δούμε διαφορετικές από την κλασική μεθοδολογία λύσεις

1. Να αποδείξετε ότι $\frac{e^{\alpha} +e^{\beta}}{2}\geqslant e^{\frac{\alpha +\beta }{2}}$ για κάθε $\alpha ,\beta \in R$
( οχι με Θ.Μ.Τ )

2. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{2}-10 , x\geqslant 0$ και $f(A)=[-10,+\infty )$
α. Να δείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται
β. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x)=x-2 ...

Α. Να αποδέιξετε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ υπάρχει ακριβώς ένα y έτσι ώστε $y^{3}+y=e^{x}+x$
Β. H συνάρτηση $f$ ορίζεται από τη σχέση
$f^{3}\left( x\right) +f\left( x\right) =e^{x}+x\,\,\,\,\,x \in \mathbb{R}$
Nα αποδείξετε ότι:
1. Για κάθε $x_{0}$ ισχύει
$\displaystyle f\left( x\right ...

http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=78

Διαγώνισμα – 5 - θέμα Δ
Στην αντίστροφη δεν πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της $f$

** $f^{3}(x)+f(x)=2x$ (1)
Έστω $\beta \in R$ θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $\alpha \in R$ με $f(\alpha )=\beta$
θεώρουμε $\alpha =\frac{\beta ^{3}+\beta }{2 ...

Θέμα Β

https://drive.google.com/file/d/0B0ncwU5ccdmNanJGR09PdFUzM1E/view?pref=2&pli=1

Δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου$f{}'$ μιας συνάρτησης $f$ στο διάστημα $\left [ 0,5 \right ]$ .
Αν ξέρετε ότι $f(0)=1$
β. Το πλήθος θέσεων σημείων καμπής στο $\left [ 0,5 \right ]$
Ερώτηση 1: Πως ...

Ευχαριστώ για την απάντηση

Η απορία μου είναι πως γίνεται το διάστημα κλειστό:

** Αποδεικνύουμε ότι είναι θετική ( από συνέχεια) για κάθε $x\in [0,1]$ ( πως ; ) **

Αν πάρουμε ως $g(x)=f(x)-1$, τότε η $g$ θα παίρνει ή μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές τιμές
στο $(0,1)$

Στην σελίδα 332 του βιβλίου το ...

Αν για τη συνεχή συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow R$ είναι $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$ να δείξετε ότι υπάρχει
τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $f(\xi )=1$

Έστω ότι για κάθε $x\in (0,1):f(x)\neq 1$ τότε η $g(x)=f(x)-x$ , $x\in [0,1]$ είναι μη μηδενιζόμενη στο $(0,1)$
και συνεχής άρα θα διατηρεί ...

Η άσκηση είναι από σημειώσεις και έχει την παρακάτω λύση

$D_{f}=R$
$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=1=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$ άρα συνεχής συνάρτηση

$\lim_{x\rightarrow +\infty }(4\frac{1}{x^{2}})=0$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }(e^{x-2})=0$

άρα οριζόντια ασύμτωτη $y=0$ στο $-\infty ...

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της και την ασύμπτωτή αυτής
όταν

Αν η δική μου λύση είναι σωστή (άγχος ) γιατί είναι διαφορετική από του βιβλίου
Ευχαριστώ