Eυχάριστα δε μπορεί να είναι οταν κάποιος σπουδάζει μηχανικός ή μαθηματικός, γιατι τον περιμένει τέτοιο διάβασμα που αν το ξερε θα τον έλουζε κρύος ιδρώτας. Αν τρέμεις στην ιδέα του διαβάσματος ,τότε μάλλον έχεις επιλέξει λάθος σχολή. Το υπόλοιπο post μου φαίνεται μες την υπερβολή και την κινδυνολο...

Δεν νομίζω ότι ήθελε να γράψει τη συνθήκη Cauchy και επίσης δεν βλέπω γιατί ο ισχυρισμός αυτός είναι λάθος. Αν η ακολουθία είναι συγκλίνουσα τότε είναι Cauchy και άρα για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $m$ ώστε για $k,n\geq m$ $|x_{k}-x_{n}|\leq \epsilon$. Άρα συγκεκριμένα για $k=m$ και $n>m$ παίρνουμε τ...

Αν είναι μη αντριστρέψιμος τότε δεν είναι 1-1 ,άρα υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα ώστε .

Μου γεννήθηκε η εξής απορία : Ποιος είναι ο πληθάριθμος του συνόλου των προσθετικών υποομάδων του ; Είναι ο πληθάριθμος του συνεχούς ή μεγαλύτερος ;

Ξεχάστηκε αυτό το θέμα. Όσο αναφορά τη συνέχεια : Δείχνουμε ότι η $g$ είναι συνεχής στο τυχαίο σημείο $x$. Θεωρούμε μια τυχαία ${\delta}$-περιοχή του $x$. Τότε για κάθε $y\in B_{\delta}(x)$ έχουμε : $d(y,g(y))\leq d(y,g(x))<d(x,g(x))+{\delta}$ και $d(y,g(y)) \geq d(x,g(y))-{\delta}>d(x,g(x))-{\delta...

Για να είναι η μετρική πρέπει οποιαδήποτε δύο σημεία απόστασης 0 να ταυτίζονται. Και η δοσμένη δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη. Για παράδειγμα η μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση και η g να είναι παντού μηδέν εκτός από ένα σημείο. Τότε αλλά .

Από εδώ δεν βλέπω πως βγαίνει ότι τα $k_v$ είναι όλα τα ίδια. Για ευκολία χρησιμοποίησα το ίδιο σύμβολο για όλες τις διαφορετικές ιδιοτιμές. Δεν πίστευα να δημιουργηθεί σύγχυση. Στο σημείο : Θέτοντας $v=e_{1},e_{2},e_{3}$ παίρνουμε ότι ο $A-kI$ είναι διαγώνιος ( προφανώς για κάθε k). παίρνω 3 ιδιοτ...

Ορισμός ; Από που και ως που ; Εν πάση περιπτώσει γράφω ολόκληρη την λύση αναλυτικά μιας και έκανα ένα σημαντικό λάθος στην διατύπωση λόγω απροσεξίας. Θα δείξω ότι αν για κάθε $v$ υπάρχει $k$ ώστε $(A-kI)v=0$ τότε αναγκαία $A=kI$ για κάποιο $k$. Θέτοντας $v=e_{1},e_{2},e_{3}$ παίρνουμε ότι ο $A-kI$ ...

Δείχνοντας ότι για κάθε διάνυσμα συνεπάγεται ότι ο είναι ο μηδενικός πίνακας ,προκύπτει αρκετά εύκολα ότι ο ζητούμενος πίνακας πρέπει να είναι της μορφής .

Έστω συνεχής συνάρτηση με :

Δείξτε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε :

Επαναφορά και hint

Μπορούμε να έχουμε παραδείγματα με συμπαγή ή μη συμπαγή υποσύνολα του $R^2$ και πώς τα διακρίνουμε , αν υπάρχει τέτοια δυνατότητα ; Ο ορισμός βοηθάει πιο πολύ στο να βρούμε παραδείγματα μη συμπαγών υποσυνόλων. Υπάρχει άραγε κριτήριο ή μέθοδος να βρίσκουμε μεγάλες κατηγορίες συμπαγών συνόλων( όπως π...

Ελπίζω να μην έχει συζητηθεί : Αν η $d$-διάστατη σφαίρική επιφάνεια καλυφθεί από $d+1$ σύνολα καθένα από τα οποία είναι είτε ανοιχτό είτε κλειστό , να δείξετε ότι ένα από αυτά περιέχει δύο αντιδιαμετρικά σημεία της σφαίρας. Edit: Σημείωση : Με τον όρο d-διάστατη σφαιρική επιφάνεια εννοώ τον αγγλικό ...

Και εγώ πάντως αρχικά το σύνορο κατάλαβα ότι εννοούσες. Ο όρος που ψάχνεις είναι η κλειστή θήκη ή closure.
http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology)

Ένας ισοδύναμος ορισμός για τα συμπαγή σύνολα που εμπλέκει κλειστά σύνολα , είναι ο εξής : Κάθε συλλογή κλειστών συνόλων με την ιδιότητα οποιαδήποτε πεπερασμένα από αυτά να έχουν μη κενή τομή έχει και την ιδιότητα η τομή όλων των συνόλων της να είναι μη κενή. Ένας λόγος για τον οποίο δεν είναι "καλό...

Πολύ ωραία , ευχαριστώ. Ένα άλλο ερώτημα που σκεφτόμουν τώρα, μάλλον πιο δύσκολο (;): Σε πόσα πυκνά υποσύνολα του επιπέδου πρέπει να χωριστεί το επίπεδο ώστε σε καθένα από αυτά να μην υπάρχουν σημεία απόστασης 1 ; ( να χωριστεί σε 1 προφανώς δεν γίνεται, αλλά ούτε και σε 2 με ένα τετριμμένο επιχείρη...

Μου γεννήθηκε το εξής ερώτημα (ενδέχεται να είναι απλό και να έχω κολλήσει ): Υπάρχει πυκνό υποσύνολο του επιπέδου που δεν περιέχει δύο σημεία που απέχουν απόσταση 1 ;

Είναι το σύνολο πυκνό στο ;

Πολύ καλό είναι το Introduction to Algorithms το οποίο χρησιμοποιείται ως προτεινόμενο σύγγραμμα στο MIT. Μάλιστα υπάρχουν online και οι διαλέξεις που βασίζονται σε αυτό το σύγγραμμα , οι οποίες κατά τη γνώμη μου είναι τρομερές. Η προσέγγιση είναι αρκετά μαθηματική και στο τέλος του βιβλίου υπάρχει ...

Πολύ πιο απλό και κομψό από αυτό που είχα στο μυαλό μου. Ευχαριστώ για την απάντηση.