Χρόνια Πολλά, έστω και καθυστερημένα και από εμένα σε όλους τους εορτάζοντες και ιδίως στο διαχειριστή μας κύριο Συγκελάκη!

Σε οποιαδήποτε από τις δύο σχολές και αν περάσεις πέραν της ανάλυσης θα κληθείς να αντιμετωπίσεις οπωσδήποτε και γραμμική άλγεβρα, η οποία, στο ΕΜΠ τουλάχιστον, είναι πακέτο με την αναλυτική γεωμετρία (στην οποία δεν χρειάζεται ξεκινώντας να ξέρεις τίποτα παραπάνω από τα λυκειακά) στα σχετικά ...

Να ευχηθώ κι εγώ, έστω και καθυστερημένα, θερμά συγχαρητήρια στους φίλους Κώστα Ψαρομήλιγκο και Μιχάλη Σαράντη για τις επιτυχίες τους. Επίσης, όπως μπορείτε να δείτε στη σελίδα των αποτελεσμάτων (http://imc2015.ddns.net/?show=results) έχουμε επίσης τους Φοίβο Κατσετσιάδη, Παναγιώτη Παπαδόπουλο (ΑΠΘ ...

Η ιδέα της δοθείσας συνάρτησης στηρίζεται στην έννοια του συμπληρώματος ως προς 1 (Για περισσότερες πληροφορίες: https://en.wikipedia.org/wiki/Ones%27_complement). Ο τύπος της είναι λοιπόν $\displaystyle{f(n) = (2^{[lgn] + 1} - 1) - n, \forall n \in N}$ (Με $\displaystyle{[lgn] + 1}$ ισούται ο ...

Η δική μου αντιμετώπιση για το Δ3.
Κατ' αρχάς έχουμε $f(x) > 0, \forall x \in (0, + \infty)$. Έπειτα, με εφαρμογή της γνωστής ανισότητας $lnx \le x - 1$ έχουμε $\displaystyle (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)lnf(x) \le (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)(f(x) - 1)$ που για $x \to 0^+$ δίνει ότι η συνάρτηση ...

Να ευχηθώ και εγώ συγχαρητήρια στη φανταστική εξάδα για την μεγάλη της επιτυχία, καθώς και στον κύριο Δημήτρη για την επιλογή του προβλήματός του. Μπορεί πλέον να μην έχω εξίσου ενεργό συμμετοχή στο με παλιά αλλά την βαλκανιάδα την παρακολούθησα και χαίρομαι ιδιαιτέρως για όλους!

Χριστός Ανέστη και πολλές ευχές σε όλους και όλες!

1. Εαν συμβολίσουμε με $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ το $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\nu \tau o \xi \,\,\sigma\upsilon\nu x)}$,
να δειχτεί οτι $\displaystyle{P_{\nu+1}(x)=2χP_{\nu}(x)-P_{\nu-1}(x)}$ για $\displaystyle{n=1,2,3,... }$ .
Από αυτό να συμπεράνετε οτι το $\displaystyle{ P_{\nu}(x ...

Αναρτήθηκαν, έστω και με καθυστέρηση, τα πλήρη αποτελέσματα του διαγωνισμού Seemous 2015 από την εκεί μαθηματική εταιρία. Αναλυτικά έχουμε:

Τσίνας Κωνσταντίνος: Χρυσό, δεύτερος σε όλο το διαγωνισμό (Εθνική Ομάδα)
Ανδριόπουλος Φαίδων: Χρυσό (Ομάδα ΕΚΠΑ)
Σκιαδόπουλος Αθηναγόρας: Χρυσό, ισοβαθμία με ...

Ευχές για ένα χαρούμενο και δημιουργικό 2015 σε όλα τα μέλη του !

Χρόνια Πολλά !

Να δειχθεί ότι .

Δεν νομίζω πως γράφει αυτό το άρθρο...

Και μία δικιά μου λύση.
Παρατηρούμε πως $\angle ADE = \angle ACE = 90^0 - \angle A = \angle ABZ = \angle ADZ \Longrightarrow$ τα τετράπλευρα $BLHD, CDHM$ είναι εγγράψιμα σε κύκλο.
Ακόμη έχουμε ότι η $\angle ABD = \angle LBD$ είναι ίση με το μισό του μη κυρτού (με βάση το σχήμα) τόξου $AD$. Συνεπώς ...

Στην ίδια λογική με την πρώτη λύση αλλά καθαρά συνθετικά. Αφού $C, M$ τα μέσα των $AS, BS$ αντίστοιχα, προκύπτει πως $CM // = \frac{AB}{2} (1)$. Ακόμη είναι $\hat{ABC} = \hat{BCM} = 30^0 \Longrightarrow \hat{ACM} = 60^0$. Θεωρούμε το συμμετρικό $C'$ του $C$ ως προς το $M$. Τότε θα είναι $AC = CC' (2 ...

Γράφω μετά από μία μεγάλη περίοδο αποχής από το :logo: . Η δοθείσα σχέση γράφεται ισοδύναμα:
$[(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}][(y + \frac{1}{3})^2 + \frac{8}{9}] = \frac{2}{3} (1)$
Η ελάχιστη τιμή της παράστασης του πρώτου μέλους είναι $\frac{2}{3}$ και λαμβάνεται όταν $(x, y) = (- \frac{1}{2 ...

Θα προσπαθήσω να εξηγήσω λίγο καλύτερα τη σκέψη μου. Όπως η μονοτονία ορίζεται στο βιβλίο, ένας μαθητής, προκειμένου να δείξει τη μονοτονία μίας συνάρτησης πρέπει να θεωρήσει μία σχέση διάταξης ανάμεσα σε δύο τυχαία σημεία του πεδίου ορισμού της και να εξετάσει μετά ποια είναι η σχέση διάταξης ...

Θα τοποθετηθώ αναφορικά με το θέμα παρότι δεν είμαι καθηγητής, απλώς δεν ξέρω μήπως η σκέψη μου είναι σε λάθος κατεύθυνση. Η προσέγγιση του μαθητή είναι λάθος στα πλαίσια του βιβλίου . Τυπικά ο ορισμός της μονοτονίας δίνεται με συνεπαγωγή και όχι με ισοδυναμία. Αν ο ορισμός δινόταν διαφορετικά ...

Μία λύση που έκανα, ελπίζω σωστή.
Θέτουμε $x = 0$ οπότε προκύπτει $f(f(y)) = f(y), \forall y \in R (1)$. Η προηγούμενη σχέση μας εξαφαλίζει πως ισχύει $f(x) = x, \forall x \in f(R)$.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως $f(R) = R$. Για $y = 0$ από την αρχική σχέση προκύπτει $f(x + f(x)) = 2x + f(0 ...