Στο pdf ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, του Μαυρογιάννη, σελίδα 15 του PDF και 13 των σημειώσεων, έχει την εξής άσκηση:

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ, με f(x) > 0 για καθε x στο Δ και f παραγωγισιμη στο $\displaystyle{\displaystyle \alpha \in \Delta }$ με α πραγματικό αριθμό.
Να αποδειχτεί οτι ...

Μια παλιά(1990ς) άσκηση Γ' Λυκειου που έτυχε να ξαναδώ σημερα. Θα την χαρακτήριζα άσχημη και μη-κομψή στο α) σκέλος της, αλλά for what is worth την δίνω εδώ, όλο και σε κάποιον θα φανεί χρήσιμη....
(Το β) δεν είναι ακριβώς θέμα του παρόντος τόπικ διαφορικόυ λογισμού(πχ Boltzano) αλλά δεν πειραζει ...

Χάριν συντομίας ας βάλουμε $f(a)=f$ και $g(a)=g$ . Επίσης $F(x)=\frac{x^{2}f+1}{x^{2}+g}$ και $G(x)=\sqrt{\frac{xg-1}{f-x}}$
Με απλές πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι $F(G(x))=x$ δηλαδή ότι $F$ και $G$ είναι αντίστροφες.
Ακόμη εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι πχ $F$ η δεν είναι συμμετρική ως προς ...

$f(f(x)) = \alpha x + b -1$
$f(2) = 4$
$f$ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ

α)ΝΑ ΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ $a>0$
β) ΑΝ $f(x)$ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΎ ΝΑ ΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ $f(x) = 2x$
( Το $b$ προκύπτει ίσο με 1 μετά τον υπολογισμό ενός ορίου )


Το b=1 ειναι δεδομένο στην παρούσα άσκηση έτσι οπως παρουσιάζεται εδώ, έτσι?
Διότι ...

Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο σελ 48.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων $f$ και $g$ στο $x_{0}$ τότε:
1.


6.$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[k]{f(x)}=\sqrt[k]{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$

εφόσον $f(x)\geq 0$ κοντά στο $x_{0}$ .



Να σημειώσω ότι σε αυτή την παράγραφο δεν έχουν ...

Αν $lim|f(x)| = 0 \Rightarrow limf(x)=0$
Εάν σε ένα Σ/Λ μας δίνεται το παραπάνω χωρίς να αναφέρει για την υπάρξη του $limf(x)$
( Εύκολα αποδυκνυεται μέσω κ.π) ωστόσο μπορεί να απαντηθεί ως σωστό εφόσον δεν γνωρίζουμε την υπάρξει του $limf(x)$


Εδώ γίνεται κακή χρήση του " $\Rightarrow ...

Δεν ξερω γιατί τόση φασαρία για κάτι απλό και πολύ γνωστό:

Ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και επαναλαμβάνεται σε σχεδόν όλα τα βιβλία Γεωμετρίας, υπάρχει κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με τυχαίο πολύγωνο (*). Στο τέλος απλά μετράμε το μήκος της πλευράς του με χρήση του ...

Η εικονα επεξηγεί και το προβλημα επ' ακριβώς.
Να βρεθει Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ** που πρέπει να ακολουθηθεί για να βρεθεί το εμβαδόν του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΖΗ με χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη(χρησιμοποιώντας τα όσες φορές θέλουμε) και με μια μόνο μέτρηση μήκους με αριθμημένο χάρακα.

** Το πρόβλημα αναζητά ως ...

Άλγεβρα Β' Λυκείου , Άσκηση 1 ιι) : Να κάνετε την παρακάτω διαίρεση : $(x^4-81):(x-3)$ .

Απάντηση 1η : $(x^4+0x^3+0x^2+0x-81)$ διά $(x-3)=$ ( με το γνωστό σχήμα ) $x^3+3x^2+9x+27$

Απάντηση 2η : Με την ταυτότητα $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ , βρίσκουμε το ίδιο πηλίκο .

Απάντηση 3η : $(x^2 ...

Christos.N έγραψε:Θανάση διαιρούμε Ευκλείδεια, δεν έχουμε ρητή παράσταση επ'ουδενί.

Όπως στους ακέραιους αριθμούς είναι διαφορετικό να λέμε από το να λέμε .

Τι το διαφορετικό έχει επ' ακριβώς;
Ισοδύναμα τα έχουμε ορίσει να είναι.