Διαφορι - Κούλα 26

mathxl · #1

Έστω η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right) \to R}$
τέτοια ώστε να ισχύει
$\displaystyle{xf'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right)\ln \frac{x}{{f\left( x \right)}},\forall x \in {R^ * }}$
με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = e,f\left( { - 1} \right) = - e}$ . Να βρείτε τον τύπο της f

manos1992 · #2

παρατηρούμε ότι $(ln(\frac{x}{f(x)}))'=\frac{f(x)-xf'(x)}{xf(x)}$

η διαφορική γράφεται αν θεωρήσουμε $g(x)=ln(\frac{x}{f(x)})$

xg'(x)-g(x)=0

και άρα $(\frac{g(x)}{x} )'=0$

απ όπου $g(x)=cx\Rightarrow ln(\frac{x}{f(x)})=cx$

για x>0 πρέπει και f(x)>0 ώστε να έχει νόημα το ln

άρα για x>0 $lnx-lnf(x)=cx\Rightarrow lnf(x)=lnx-cx\Rightarrow f(x)=e^{lnx-cx}\Rightarrow f(x)=\frac{x}{e^{cx}}$ και για f(1)=e c=-1

για x<0 $ln(-x)-ln(-f(x))=cx\Rightarrow ln(-f(x))=ln(-x)-cx\Rightarrow f(x)=-e^{ln(-x)-cx}\Rightarrow f(x)=\frac{x}{e^{cx}}$

και οπότε πάλι c=-1

άρα $f(x)=xe^x \forall x\in \mathbb{R}^*$
που επαληθεύει την αρχική σχέση

δεν παίρνω και όρκο για την ορθότητά της αλλά και σωστη να είναι μάλλον υπάρχει και πιο απλή λύση αλλά τελος πάντων!

manos1992 · #3

άκυρο για x<0 είναι c=1 ή είμαι κουρασμένος και λέω ότι να ναι;

δηλαδή τελικά βγαίνει $f(x)=xe^x\forall x>0$

και $f(x)=xe^{-x}\forall x<0$ που επαληθεύει και αυτη τη φορα ικανοποιεί και τις αρχικές συνθήκες..

mathxl · #4

Μάνο μία αντιμετώπιση είναι του τύπου:
όταν βλέπουμε σύνθετη στην οποία μετέχει η f, πηγαίνουμε στο πρόχειρο, βρίσκουμε την παράγωγο της και φροντίζουμε να την εμφανίσουμε στην διαφορική μας
μια άλλη είναι του τύπου:
θέτουμε αυτό που μας ενοχλεί, στην προκειμένη περίπτωση g=x/f ή την Ελένη και συνεχίζουμε

Μεθοδολογικά είσαι σωστός, αφού δούλεψες σε κάθε διάστημα χωριστά και όχι στην ένωση.

Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο που προτείνω (τον δεύτερο τον κάλυψες), αφού πούμε τα αναγκαία για το πρόσημο και πούμε ότι δουλεύουμε λ.χ. στο (-οο,0), θα είχαμε
$\displaystyle{{\left[ {\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)} \right]^\prime } = \frac{{f\left( x \right) - xf'\left( x \right)}}{{xf\left( x \right)}}}$
$\displaystyle{xf'\left( x \right) = f\left( x \right) - xf\left( x \right){\left[ {\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)} \right]^\prime } \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{f\left( x \right) - f\left( x \right)\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right) = f\left( x \right) - xf\left( x \right){\left[ {\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)} \right]^\prime } \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right) = x{\left[ {\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)} \right]^\prime } \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{\left[ {\frac{{\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)}}{x}} \right]^\prime } = 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)}}{x} = c}$
Για χ=-1 είναι c=1 άρα
$\displaystyle{\frac{{\ln \left( {\frac{x}{{f\left( x \right)}}} \right)}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{f\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = x{e^{ - x}}}$
Τελικά είναι
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x{e^{ - x}},x < 0} \\ {x{e^x},x > 0} \\ \end{array}} \right.}$

manos1992 · #5

νομίζω η λύση που έχουμε ειναι ίδια μονο που για να μην κουβαλαω την Ελένη την έθεσα g..
το πρόσιμο όντως μου ξέφυγε αλλά το διορθωσα στη δευτερη δημοσιευση οπότε συμφωνούμε!

mathxl · #6

Πράγματι η λύση είναι ίδια, απλά στόχος της δημοσίευσης μου είναι να δείξω πως θα μπορούσαμε να δουλέψουμε και χωρίς να θέσουμε.
Επίσης να θυμάσαι ότι τα θεωρήματα στην παράγραφο συνέπειες ΘΜΤ για εύρεση συνάρτησης ισχύουν και κατά αντίστροφο τρόπο, οπότε δεν χρειάζεται η επαλήθευση. Βέβαια δεν είναι κακό σαν συνήθεια η συνεπαγωγή και η επαλήθευση

Καληνύχτα

manos1992 · #7

ναι κατάλαβα! οντως έχετε δικιο απλά συνήθως επαληθεύω καλού κακού μήπως έχω κάνει καμιά πρόσθεση κατα μέλη η τέλος πάντων κάτι που βλάπτει την ισοδυναμία και το έχω ξεχάσει..επίσης επιβεβαιώνω και το αποτελεσμα γιατι συνιθίζω απροσεξιες του τύπου ''ωχ, μου φυγε το προσιμο!

''...τέλος παντων, σας ευχαριστώ πάντως!
καληνύχτα!

Ανδρέας Πούλος · #8

Δεν παίζω άλλη φορά μαζί σας. Είστε πολύ γρήγοροι στο γράψιμο σε Equation Editor και LATEX.
Τέλος πάντων, επειδή κι εγώ κουράστηκα να τη λύσω και έχω κάτι μικροδιαφορές στα βήματα που ακολούθησα, αφήστε και σε μένα χώρο για παιχνίδι.
Στέλνω συνημμένο αρχείο.
Φιλικά,
Ανδρεάς Πούλος

mathxl · #9

Καλό μεσημέρι.
Ανδρέα έχεις την λύση σου σε doc ή pdf. Δεν μπορώ να ανόίξω το αρχείο

Ωmega Man · #10

Από default θα έπρεπε να ανεβάζουμε τα αρχεία σε pdf μιας και τα αρχεία τέτοιου τύπου ανοίγουν παντού.... και αν κάποιος θέλει να ανεβάζει συμπληρωματικά doc ή docx ή ότι άλλο θέλει.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #11

Για να βοηθήσω, την μετετρψα σε PDF

Ανδρέας Πούλος · #12

Δημήτρη,
ευχαριστώ πολύ για τη μετατροπή του αρχείου.
Σήμερα τα μεσάνυχτα είδα το αίτημα του mathxl, αλλά ήταν πλέον αργά.
Παιδευόμουνα με εκείνη τη συναρτησιακή εξίσωση που έβαλε αλλά δεν κατάφερα τίποτα.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Διαφορι - Κούλα 26

Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Re: Διαφορι - Κούλα 26

Μέλη σε σύνδεση