Ευχαριστώ πολύ Αποστόλη! Απλή ήταν τελικά απ' ότι φαίνεται!

Καλησπέρα :logo: !
Θα ήθελα βοήθεια σε μία άσκηση από το πανεπιστήμιο.

Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που ορίζεται ως η τομή της σφαίρας $x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z+2=0$ και του επιπέδου $3x-2y+z=5$.

Αρχικά από πυθαγόρειο βρήκα ότι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι: $\displaystyle R ...

Καλησπέρα, προκειμένου να προχωρήσεις με την άσκηση, πες μας το σημείο που κολλάς, για να σε βοηθήσουμε.
Ενδεικτικά για τα πρώτα δύο:

1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της.
Το πιο κλασικό ερώτημα στην αντίστροφη συνάρτηση. Σε αυτά τα ερωτήματα αρκεί να ...

Να υπολογιστεί το όριο:

.

Tolaso J Kos έγραψε:

elena97 έγραψε:.
...
Εδώ κάτι πρέπει να 'χει γίνει λάθος. Το πώς θα το υπολογίσουμε;

Αποστόλη, για γίνεται:

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ κύριε Μιχάλη, είστε κατατοπιστικότατος.

Καλησπέρα κ. Μιχάλη και ευχαριστώ για την απάντηση.

Το θέμα είναι ότι ακόμα δε γνωρίζουμε ότι $\sin(\pi) = 0$ γιατί μετά ονομάζουμε τη μικρότερη θετική ρίζα του ημιτόνου $\pi$. Αυτό μας δημιουργεί πρόβλημα στην ιδιότητα που γράψατε:
$\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ την θα μπορούσαμε να αποδείξουμε μόνο ...

Καλησπέρα!

Σήμερα στο μάθημα του Λογισμού ο καθηγητής αναφέρθηκε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και στους τύπους:

$\displaystyle{cosx = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-... = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$\displaystyle{sinx = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-... = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i ...

Καλησπέρα :logo:
Μπορεί στο παρελθόν να έχει αναφερθεί κάτι παρόμοιο, αλλά τη θεωρώ αρκετά ενδιαφέρουσα.

Αν $f,g$ δύο συνεχείς και μη σταθερές στο $\displaystyle{\left [ 0,1 \right ]}$ συναρτήσεις και ισχύει:

$\displaystyle{f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+...+f(1)=g(\frac{1}{n})+g(\frac{2}{n ...

Καλημέρα Αποστόλη!

α. $\frac{\left | z-i \right |}{\left | z+i \right |}=1\Leftrightarrow \left | z-i \right |=\left | z+i \right |$
Άρα ο γ.τ του $z$ είναι η μεσοκάθετος του $AB$ με A$(0,-1)$ και B$(0,1)$ δηλαδή η $y=0$ άρα:
$z \in \mathbb{R}$

Στη συνέχεια:
$\frac{\left | z-i \right |}{\left | z ...

Γ ερώτημα:

αν $w=\frac{z_1}{z_2}$ τότε όμοια με το β' ερώτημα $w^3 = -1$

επειδή $2012 = 3\cdot 670 + 2$:

$(w)^{2012}+\left ( \frac{1}{w} \right )^{2012}= w^2\cdot \left (\left ( w \right )^3 \right )^{670}+\left ( \frac{1}{w} \right )^2\cdot \left (\left ( \frac{1}{w} \right )^3 \right )^{670}=w ...

Καλησπέρα σας!

Στην ίδια λογική με τον κ.Γιώργο:
Καταλήγοντας στην $w^2-w+1=0$, παρατηρούμε ότι οι ρίζες της είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, οι οποίοι είναι και αντίστροφοι.
Άρα αν: $w_{1}$, $w_{2}$ οι ρίζες της, είναι:

$w_{2} =\bar{w_{1}} = \frac{1}{w_{1}}\Rightarrow \left | w_{1} \right |^2=1 ...

charalamposkaralis έγραψε:

Εδώ μήπως είναι + ;

Φιλικά,
Αναστάσης

Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα, άρα με $x_{1}<x_{2}$ ισχύει: $f(x_{1})>f(x_{2})$, $\forall x_{1},x_{2} \epsilon \mathbb{R}$

Είναι: $f(k^2-3k)-f(2k-6)=k^2-5k+6$
$\Leftrightarrow f(k^2-3k)-(k^2-3k)=f(2k-6)-(2k-6)$

Έστω συνάρτηση: $h(x)=f(x)-x, x\epsilon \mathbb{R}$
Είναι: $x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow ...

Να βρεθεί ο επόμενος αριθμός:

41 19 39 46 85 58 28

Καλησπέρα!

$\left | z-1 \right |+\left | z^2+1 \right |\leq \left \left | z \right |+1+\left | z \right |^2+1=4$

αρκεί: $\left | z-1 \right |+\left | z^2+1 \right |\geq \sqrt{2}$

$\left | z-1 \right |+\left | z^2+1 \right |\geq \left | z-1 \right |$

$\left | z \right |=1\overset{z=a+bi ...

Θέμα Γ

Είναι κατά τα γνωστά:

Γ1.
$P(\Omega )=P(-1)+P(0)+P(1)+P(2)\Leftrightarrow \frac{\alpha }{2}+\alpha +\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 2\alpha +\frac{\alpha }{5}=1\Leftrightarrow 10\alpha +\alpha =5\Leftrightarrow \alpha =\frac{5}{11}$

Τα απλά ενδεχόμενα είναι: $P(-1 ...

Μοιάζει με τη λύση του Γιώργου..
Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου για το ASC:

$\frac{2}{3}=\frac{a}{c}\Leftrightarrow c= \frac{3}{2}a$

από νόμο συνημιτόνων για το SBC:
$cos\varphi = \frac{b^{2}+c^{2}-9}{2bc}$

από νόμο συνημιτόνων για το SCD:
$cos\varphi = \frac{c^{2}+d^{2}-x^{2}}{2cd ...

Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow
\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y ...

Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow
\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y ...