Οι Διαγωνισμοί των Μαθηματικών δεν γίνονται για να έχουμε άγχος για το εάν περάσαμε στην επόμενη φάση. Η μελέτη των εν λόγω Μαθηματικών γίνεται μόνο και μόνο γιατί υπάρχει μέσα σε κάποιους μαθητές η δίψα να μάθουν και άλλα πράγματα. Γιατί ενθουσιάζονται από την Επιστήμη αυτή και έχουν τον πόθο να ...

Η προς απόδειξη Ανισότητα ισοδύναμα γράφεται


με την τελευταία Ανισότητα να ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{a,b,c > 0}$ με $\displaystyle{abc = 1,}$ τότε ισχύει:

$\displaystyle{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a \ge \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} }.$

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{(a^2b+b^2c+c^2a)(b+c+a)\geq ...

Kαλησπέρα σε όλους :logo:

Ας δούμε μία ανισότητα που προσπάθησα να λύσω σήμερα:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι:

$\frac{1}{(2a+b)^2}+\frac{1}{(2b+c)^2}+\frac{1}{(2c+a)^2} \geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Όμορφη!

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

1η περίπτωση ...

Αν $a,b,c\geq0$, να δειχτεί ότι $\sum{\sqrt{a(b+c)}}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$.

Η άσκηση είναι άλυτη από ένα φυλλάδιο του κ.Στεργίου.

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\begin{aligned}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sum\sqrt{2a(b+c)}\right]^2&\leq\frac{1}{2}\sum (2a)\cdot ...

orestis26 έγραψε:Αν θετικοί με , να δειχτεί ότι : .

Η Ανισότητα γράφεται

ή καλύτερα

όπου ισχύει.

Αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί , να δειχτεί ότι $\sum{\displaystyle\frac{x}{(x+y)(x+z)}}\leq\displaystyle\frac{9}{4(x+y+z)}$.

Αυτή ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle{\sum x(y+z)\leq\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{4(x+y+z)}}}$ ή τελικώς

$\displaystyle{8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow ...

Αν $a,b,c\geq0$ με $a+b+c=1$ , να δειχτεί ότι $7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$ .

Η άσκηση δεν είναι δύσκολη , αν βρεις το κουμπί της , όλα προχωρούν μετά... Το κουμπί που εννοώ είναι η ομογενοποίηση .

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Schur

$\displaystyle{\begin{aligned} 2+9abc=1+(a+b+c)^3+9abc&\geq 1+4 ...

Κ. Λαμπρου λογικα θα υπηρξε τυπογραφικο, αφου οπως υποδειξατε και εσεις με αυτη την υποθεση δεν μπορει ο καθενας απο τους να'ναι μεγαλυτερος του . Απο την αλλη μπορει το γινομενο τους οπως αποδεικνυω πιο πανω.

Έστω οι θετικοί $x,y,z$ Αν ισχύει $\dislaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$ , να αποδειχθεί ότι $x,y,z \geq 8$.

Εν συντομια επειδη γραφω απο κινητο.

Η υποθεση ισοδυναμα γραφεται

$\displaystyle{\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}.}$

Αλλα απο την Ανισοτητα ...

Εστω $a,b,c>0$ με $ab+bc+ca=1$.

Να δείξετε ότι :

$\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geq \frac{1}{2}$

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}&\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a+b)+b(b+c ...

Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$, συνεχή παράγωγο και $f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37 ...

3) $\displaystyle{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3} \leq \frac{\sqrt{a}}{b^3\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{a^3\sqrt{a}}}$


Η Ανισότητα είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{a^4+b^4\geq \sqrt{ab}(a^3+b^3).}$

Είναι όμως σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz και την $x^4+y^4\geq xy(x^2+y^2 ...

Ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{\kappa }^{\lambda }e^{f(x)}dx>(\lambda -\kappa )\cdot \left [ \frac{(\kappa +\lambda )(f(\kappa )+f(\lambda )+\kappa ^{2}\lambda +\lambda ^{2}\kappa )}{4}+1 \right ]$, για κάθε $\kappa <\lambda$.


Η Ανισότητα είναι μάλλον

$\displaystyle{\int_k^{\lambda} e ...

Να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{4{({a^2} + ab + {b^2})^3} \ge 27{a^2}{b^2}{(a + b)^2},a,b \in R}$

2) Αν $a,b,c$ είναι πλευρές τριγώνου, τότε: $\displaystyle{\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}}$

Αν έχουν προταθεί ξανά, που είναι ...

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)={{e}^{x}}\ln x$ τον άξονα ${x}'x$ και τις ευθείες $x=1$ και $x=e$ δεν υπερβαίνει το $\frac{{{e}^{2e}}-{{e}^{2}}+2e-4}{4}$.

Ισχύει
$\displaystyle{\begin{aligned}
\int_1^e 2e^x\ln x\,\mathrm{d}x ...

Αν θυμάμαι καλά υπάρχει σαν ιστορικό στοιχείο στην αρχή της ενότητας που αναφέρει ότι πρωτοεισήγαγε τον συμβολισμό αυτό ο Leibniz.

Δίνεται συάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(1)=2$ και ${f}'(1)=3$
Να υπολογίσετε τα ορio: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{x}f(x)-2e}{x-1}$

Στις υποδείξεις λέει : Αν $h(x)=e^{x}f(x)$ , τότε το όριο είναι ίσο με ${h}'(1)=5e$

Η απορία μου είναι πως θα παραγωγίσουμε την συνάρτηση $h(x ...

Και πιο απλά .

M.S.Vovos έγραψε: β) Να δείξετε ότι .

Έχουμε το καλύτερο