Γιατί το ελάχιστο λαμβάνεται στο πρώτο τεταρτημοριο;

Έστω $D$ το χωρίο που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$.

Από το θεώρημα Green είναι:
$\displaystyle{
\iint \limits_{D} d x d y
=\dfrac{1}{2}\ointctrclockwise\limits_{\partial D}-y d x+xd y
}$
όπου το σύνορο $\partial D=\gamma_1\cup \gamma_2$ είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη και ...

Ένα τετράγωνο πλευράς $a$ έχει κορυφές $A\left(\tfrac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$, $B\left(0, \tfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $C\left(-\tfrac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ και $D\left(0,-\tfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$. Το τετράγωνο περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά $90^{\circ}$ γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο ...

Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που καθορίζεται από τις ανισότητες:

Έστω $f:[0, +\infty)\rightarrow \mathbb R$ φθίνουσα συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $[0, +\infty)$. Υποθέτουμε επίσης ότι
$\displaystyle{
f(0)=1, \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)=0,
}$
και
$\displaystyle{
\int_{0}^{\infty}|f'(x)|x^4 \, dx<+\infty.
}$
Να δειχτεί ότι
$\displaystyle{
\lim_{x ...

Κ, Λάμπρου σας χαιρετώ! Ευχαριστώ πολύ για την λύση σας. Πολυ ορθή και η παρατήρησή σας στο τέλος.

Έστω αύξουσα συνάρτηση. Αν

να δειχτεί ότι

Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε . Ορίζουμε την συνάρτηση
, .

Να προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

Να εξεταστεί αν το ολοκλήρωμα

συγκλίνει.

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Είναι κρίμα πάντως που δεν γίνονται αυτού του είδους οι γραφικές παραστάσεις στο Geogebra. Κατά τη γνώμη μου είναι σοβαρή αδυναμία του προγράμματος. Θα βολευτώ μάλλον με το (wolfram) mathematica για αυτού του είδους τις γραφικές παραστάσεις.

Ξέχασα να διευκρινίσω πως θα ήθελα οι γραφικές παραστάσεις που ανάφερα στην αρχική μου ανάρτηση να γίνουν στο επίπεδο .

Καλημέρα σε όλη την ομάδα.

Θα ήθελα να ρωτήσω αν γνωρίζει κάποιος πως κάνουμε γραφικές παραστάσεις στο Geogebra της μορφής $f(x,y)=0$ με περιορισμό στην μεταβλητή $x$ (ή και στην $y$).

Π.χ. την $x^4-4x^2-y^4+5y^2=0$ για $x \geq 0$, $y\geq 0$

$x=\sin(x+y)-xy$ για $x \geq 1$.

Θα ήθελα τις εντολές ...

Ο κυπριακός σιουσιούκκος έχει σχεδόν κυλινδρικό σχήμα. Επειδή περιέχει κούννες (ομοιόμορφα και συμμετρικά τοποθετημένες στον κεντρικό άξονα $z$), η ακτίνα του έχει εξογκώματα και βαθουλώματα, περίπου της μορφής:
$\displaystyle{
\rho=\rho_0+\delta_0 \hm\Big(\dfrac{z}{z_0}\Big)
}$
(όπου $\rho_0 ...

Δίνεται το τετραγωνικό χωρίο $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant a$ του επιπέδου $xy$, με εμβαδόν $a^2$. Να επαληθεύσετε το απότελεσμα αυτό εκφράζοντας το εμβαδόν ως άθροισμα δύο πολικών διπλών ολοκληρωμάτων, όπου και στις 2 περιπτώσεις πρώτα ολοκληρώνουμε ως προς την πολική γωνία ...

Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες το ολοκλήρωμα

συγκλίνει.

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας. Κ. Λάμπρου ανταποδίδω τους χαιρετισμούς. Ελπίζω σύντομα να τελειώσει αυτό το κακό και να τα πούμε και από κοντά κάποια στιγμή. Να είστε όλοι καλά!

Ένας ειδικευόμενος γιατρός πρόκειται να εργαστεί σε ένα νοσοκομείο για πέντε ημέρες κατά τον μήνα Μάρτιο. Η διεύθυνση του νοσοκομείου δεν επιτρέπει στον ειδικευόμενο γιατρό να εργάζεται δύο συνεχόμενες μέρες στο νοσοκομείο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο γιατρός να επιλέξει τις πέντε μέρες ...

Η λύση 2 όπου χρησιμοποίησα το Θεώρημα απόκλισης του Gauss έχει πρόβλημα..

Δεν ξέρω αν υπάρχει τρόπος "να σωθεί".

Διερωτούμαι πάντως πως βγαίνει το ίδιο αποτέλεσμα έστω και με διαφορετικό πρόσημο (αυτό μπορεί να οφείλεται σε αντίθετο προσανατολισμό της επιφάνειας).

Πιο κάτω βάζω διορθωμένη την Λύση 1. Ευχαριστώ και δημόσια τον Γρηγόρη Κωστάκο για τις παρατηρήσεις του.

Μετασχηματίζουμε σε πολικές συντεταγμένες: $x=r \cos \theta, \, \, y=r \sin \theta$.
Είναι $-\dfrac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$.

$\displaystyle{
x^2 + y^2 = 2 \rho x ...