ΑΣΚΗΣΗ 17

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη και μη μηδενική συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, για την οποία ισχύει:

$\left ( f'(x) \right )^{2}=f(x)\cdot f''(x)$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$, με $f'(0)=f(0)=1$.

Α. Να δείξετε ότι $f(x)=e^{x}$.

Β. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle f ...

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}$
Καλησπέρα. Ιδού μία τριγωνομετρική λύση
Θέτουμε $y=x+\dfrac {\pi}{4}$ και έχουμε:
$\displaystyle I=\bigints_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}=\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac ...

Επαναφορά.

Παρότι δεν είμαι ο μεγαλύτερος θαυμαστής του συγκεκριμένου κλάδου των μαθηματικών, η υποτίμηση που δέχεται τα τελευταία χρόνια αυτό το μάθημα, τόσο από τους εκπαιδευτικούς όσο και από τους μαθητές τους ίδιους (να μην κρύβουμε τις ευθύνες μας, και οι μεν και οι δε), είναι απογοητευτική. Σε αυτό το ...

Αναφέρομαι στον όρο fractional calculus. Συγκεκριμένα, θα ήθελα να ρωτήσω αν έχει γίνει (ή, τελοσπάντων, μπορεί να γίνει) επέκταση είτε στους άρρητους (irrational calculus;) είτε στους μιγαδικούς, καθώς επίσης και αν οι δύο ορισμοί που βρήκα, των Liouville-Riemann και Letvikov-Grunwald, είναι ...

Μπορεί να μου πήρε κάμποση ωρίτσα (τόσο να το γράψω, όσο και να το σκεφτώ), αλλά νομίζω ότι βρήκα μια ικανοποιητική (και "πανελλαδική" λύση).
Έστω $f(x)=\ln (x+\sqrt {x^2+1}) \Rightarrow f(1)=\ln(\sqrt {2}+1),~f(0)=0$
καθώς και $f'(x)=\dfrac {1} {x^2+1}$
Επιπλέον, θεωρούμε τη συνάρτηση ...

Καλησπέρα, μου φαίνεται ότι στο 4ο θέμα το β υποερώτημα έχει κάποιο προβλημα... Το λέω αυτό γιατί ενώ βρεθεί ότι η συνάρτηση είναι της μορφής:
$f(x)=x+\sqrt {x^2-x}$ επειδή πρέπει να τέμνει την ευθεία $g(x)=x+k, k>a\geq 1$ σε δύο σημεία θα ισχύει:
$f(x)=g(x) \Leftrightarrow x+k=x+\sqrt {x^2-x ...

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x}{e^x+\sqrt{e}}, \;\; x \in \mathbb{R}}$.
α. Να δείξετε ότι για κάθε $y \in (0, 1)$ υπάρχει μοναδικό $t \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{y=\frac{e^t}{e^t+\sqrt{e}}}$.
β. Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{f\left ( \frac{1}{10} \right ...

Kαλησπέρα :logo: .

΄Ενα σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης $\displaystyle f(x)=-\frac{x^{5}}{5},x\geq 0$. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας $\theta$ που σχηματίζει η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $M(a,f(a))$ με τον $xx'$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τετμημένη του $M$είναι $2 ...

chris_gatos έγραψε:viewtopic.php?f=69&t=3103

Ευχαριστώ. Μου είχε φάει πολύ χρόνο το συγκεκριμένο ερώτημα.

Ένας γνωστός μου μου είπε ότι στις ενδοσχολικές εξετάσεις Ιουνίου για το σχολείο του, τέθηκε το εξής ερώτημα (σε μορφή Σ-Λ): Για κάθε συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $\mathbb {R}$ ισχύει: $f(x)=A(x)+\Pi (x)$, όπου $A(x)$ άρτια και $\Pi (x)$ περιττή. Νoμίζω ότι το παραπάνω ισχύει αν η $f$ είναι ...

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).}$
Καλημέρα στο :logo: και σε όλους τους αναγνώστες του έπειτα από πολύ καιρό.
Ας ξεκινήσουμε...:
Για $x=y$ παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει ακέραια λύση (καταλήγουμε στη σχέση: $x-6=\dfrac {2} {x^2},~x\neq 0 ...

Ρίχνοντας μια ματιά, παρατήρησα οτι είναι πολύ ωραία τα προβλήματα που προτείνετε και αξίζει να ασχοληθεί ο οποιοσδήποτε (και ιδιαίτερα κάποιος που ασχολείται με τους διαγωνισμούς) με αυτά. Ευχαριστούμε.

Καλησπέρα.
Να λυθεί η εξίσωση:


$\displaystyle{\frac{1}{n+1}+\frac{2n}{(n+1)(n+3)}+\frac{3n}{(n+3)(n+6)}+\frac{4n}{(n+6)(n+10)}+\frac{5n}{(n+10)(n+15)}=\frac{n-1998}{2n-1998}}$

($\displaystyle{n\in N^{*}}$)
$\dfrac {1}{n+1}+\dfrac {2n}{(n+1)(n+3)}+\dfrac {3n}{(n+3)(n+6)}+\dfrac {4n}{(n+6)(n+10 ...

Καλημέρα σας κύριε Δημήτρη!
ΑΣΚΗΣΗ 72 : α λυθεί με άγνωστο το $\displaystyle{x}$, η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+ . . . +\frac{n}{n+1}=x.[\frac{n}{1.2}+\frac{n-1}{2.3}+\frac{n-2}{3.4}+ . . . +\frac{1}{n(n+1)}]}$

$\displaystyle{(n\in N^{*})}$
Το πρώτο μέλος γίνεται ...

$\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}$
Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του forum.Λόγω διάφορων υποχρεώσεων δεν έχω γράψει εδώ και αρκετό καιρό αλλά χαίρομαι που βλέπω οτι το μεράκι των καθηγητών και των εξαίρετων μαθητών που ...

1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{x^2 + x= \frac{42}{{{x}^{2}}+x+1}}$.

Πρέπει
$x^2+x>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,-1)\cup (0,+\infty)$
Θέτουμε:
$y=x^2+x$
και έχουμε:
$y=\dfrac {42} {y+1} \Leftrightarrow \\ y^2+y=42 \Leftrightarrow \\ y^2+y-42=(y+7)(y-6)=0 ...

3. Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\alpha \beta \left( \frac{\alpha +\beta }{2}-\gamma \right) + \beta \gamma \left( \frac{\beta +\gamma }{2}-\alpha \right) + \gamma \alpha \left( \frac{\gamma +\alpha }{2}-\beta \right) = 0 ...

4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2\nu + 1}$ διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{\nu^2 + \nu- 2}$.
Έχουμε:
$4\dfrac {n^2+n-2} {2n+1}=\dfrac {4n^2+4n-8} {2n+1}=\dfrac {4n^2+4n+1-9} {2n+1}=\\ \dfrac {(2n+1)^2-9} {2n+1}=2n+1-\dfrac ...

1. Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{xy +yz +zx=0}$

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του :logo: .
Παρατηρούμε οτι από την εκφώνηση μας δίνεται η δυνατότητα να ...