Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κοίλη συνάρτηση με για κάθε .

Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής και έπειτα διαιρώντας με το καταφέρνουμε να δημιουργήσουμε το ορισμό της παραγώγου της στον παρονομαστή και στον αριθμητή με τον κανόνα του L'Hospital βρίσκουμε τα επιμέρους όρια .. Και τελικά το όριο είναι .

Δ1. Η $f$ είναι παραγωγίσιμη καθώς το δεύτερο μέλος της πρώτης σχέσης είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Παραγωγίζοντας αμφότερα τα μέλη της πρώτης σχέσης λαμβάνουμε $f'(x)=1+e^xf^2(x)>0$ για κάθε $x\in R$. Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Δ2. Διαιρώντας με το $2$ τη δεύτερη σχέση και παραγωγίζοντας ...

Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση Να βρεθεί ο τύπος της .

Να βρεθεί το όριο :

Παραθέτω και την δική μου λύση :
Θέτω $y=ln(lnx)\rightarrow dy=\frac{1}{xlnx}dx$ Αλλάζουμε τα άκρα τα οποία τώρα γίνονται $0$ και $1$ και είναι$x=e^{e^{y}}$
Το δοθέν ολοκλήρωμα γράφεται $I=\int_{0}^{1}{e^{2e^y}}dy$.
Ακόμη γνωρίζουμε ότι : $e^y>y+1\rightarrow 2e^y>2y+2\rightarrow e^{2e^y}>e^{2y+2 ...

Συγγνώμη λάθος άκρο...

Να αποδείξετε ότι :

Γι'αυτούς που κρατούν ακόμα ...
Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα :

Καλησπέρα σας :)
Η σχέση $xg(x)=f(x)$ αντικαθιστώντας όπου $x>0$ το $x+y , y>0$ γίνεται : $(x+y)g(x+y)=f(x+y)$
Έστω λοιπόν ότι $f(x+y)>=f(x)+f(y)$(*) τότε θα έχουμε ισοδύναμα :$(x+y)g(x)<xg(x)+yg(y)$ ή $\frac{g(x+y)-g(x)}{y}>=\frac{g(y)-g(x+y)}{x}$
Εύκολα βέπουμε ότι ο λόγος μεταβολής της $g$ στο ...

Οχ έχετε δίκιο συγγνώμη έκανα κάτι λάθος και ξέχασα πως ήταν το ολοκλήρωμα που ήθελα να δημοσιεύσω ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : .

Έστω ότι τα σημεία $S,T$ έχουν συντεταγμένες $(0,x_1) , (6,x_2)$ αντίστοιχα.
Θα ισχύει ότι : $x_1+x_2=8$. Το εμβαδόν του τραπεζίου $OAST$ έιναι σταθερό και ίσο με :$3(x_1+x_2)=24$τ.μ .Επομένως έχουμε :$(OST)+(OTA)=24$ δηλαδή $3x_2+\sqrt{36+(x_1-x_2)}=24 \rightarrow 3x_2+\sqrt{36+(8-2x_2)^2}y=24 ...

Προχωράμε... Αν να βρεθεί το .

Να βρεθεί το όριο όταν: , .
Για να μπαίνουμε στο πνεύμα της θερινής προετοιμασίας ...

Απλά παρέλειψα τις πράξεις που ισχύει .Κανονικά πρέπει να βάλω διπλη συνεπαγωγή αλλά δεν ξέρω πως γράφεται στη latex.

Μπορούμε να θέσουμε ?

Καλησπέρα ! Στην άσκηση 6 σελίδα 185 του σχολικού βιβλίου ζητείται να αποδειχτεί ότι :$x^{log5}=5^{logx}$..
Αρχικά θα μπορούσαμε να θέσουμε $x=10^n$ ,αφού $x>0$ και η συνάρτηση $f(x)=10^x$ έχει σύνολο τιμών τούς θετικούς αριθμούς.
Άρα η δοθείσα σχέση γίνεται : $10^{nlog5}=5^{log10^n}$ και τελικά ...

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για το χρόνο σας . Κρίμα που μαθηματικοί με όρεξη και αγάπη για τη δουλειά τους σαν και σας είναι ελάχιστοι ..

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $\lim_{x\to\ a}\frac{f(x)}{(x-a)^m}$=k$και [tex]\lim_{x\to\ 0}\frac{f(x)}{(x-a)^n}$$=l$ όπου $k,l$ μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και $m,n$ θετικοί ακέραιοι . Να αποδείξετε $m=n$ και $k=l$.
Λύση:
Εφόσον το πρώτο όριο υπάρχει και είναι 0/0 θα πρέπει $f(x)=g ...