Ωραία εφαρμογη των αναλοίωτων.

Έστω $S_0=1+2+...+25=325$ και $S_i$ το αθροισμα των αριθμών που απομένουν μετά την εφαρμογή της διαδικασίας i φορές.

Παρατηρούμε ότι $S_{i+1}=S_i-a-b-c+a^3+b^3+c^3 \equiv S_i \pmod 3$, από το μικρό θεώρημα του Fermat. Άρα για κάποιο φυσικό k $2013^3=S_k \equiv S_{k-1 ...

Έστω $\displaystyle{ 3n+1=x^2}$, $\displaystyle{ 4n+1=y^2}$.
Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση με 4 και τη δεύτερη με 3, αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει:
$\displaystyle{ 4x^2-3y^2=1}$.

Θέτοντας $\displaystyle{ x=13a+45b}$, $\displaystyle{ y=15a+52b}$ έχουμε
$\displaystyle{ a^2-12b^2=1}$ (*), μια ...

Ωραία!

Η παραπάνω μέθοδος δουλεύει και για την παρακάτω;

Αν $a,b,c>0$ τότε

$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 6.}$

Εφόσον η ανισότητα είναι κυκλική, μπορούμε να θεωρήσουμε $\displaystyle{ c=min \{ a,b,c \} }$. Τώρα όμως η ανισότητα είναι ...

Αν $\displaystyle{n\in \mathbb{N}}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\rm \binom{2n+1}{0}^2+\binom{2n+1}{1}^2+\binom{2n+1}{2}^2+\cdots +\binom{2n+1}{n}^2\geq \frac{2^{4n}}{n+1}}$


Καλησπερα.
Νομίζω ότι ισχύει και η:

$\displaystyle{ \binom{2n+1}{0}^2+\binom{2n+1}{1}^2+\binom{2n+1}{2}^2+\cdots ...

Έστω με .

Να υπολογίσετε το ορίο .

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού.

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν. Iδιαίτερα στους Παναγιώτη Λώλα και Σαράντη Μιχάλη που τους γνωρίζω καλά και άξιζαν την διάκριση τους με το παραπάνω.

Για τα θέματα πιστεύω πως τα πρώτα 2 ήταν αρκετά απλά , το 4 μέτριο και το 3 απαιτητικό.
Η βασική παρατήρηση στο 3 είναι ...

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ (η διάταξη όντως είναι περιττή αλλά ας την κρατήσουμε για λόγους απλότητας) και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$.Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} {\sqrt[7]{(a^7+b^7+c^7)}} < \frac{1621\sqrt{2}}{500}=4.584 ...

Έστω $ABC$ οξυγώνιο τρίγωνο.Θεωρούμε τους κύκλους $C_1,C_2$ με διάμετρους $AB,AC$ αντίστοιχα.Η κάθετη ευθεία από το $B$ στην $AC$ τέμνει τον κύκλο $C_2$ στα σημεία $X$ και $Y$ με $BX<BY$.Ομοίως έστω $Z,W$ τα σημεία τομής της κάθετης από το $C$ στην $AB$ με τον κύκλο $C_1$ και $CZ<CW$.Να δείξετε ότι ...

Η θετικότητα και η διάταξη είναι περιττά και το φράγμα χαλαρό.

$\displaystyle{0\leq b^2+c^2+d^2=2-a^2\implies a^2\leq 2\implies a\leq \sqrt{2}\implies \boxed{a^7\leq 8\sqrt{2}}}$

Ομοίως και για τα $\displaystyle{b,c,d.}$

Άρα

$\displaystyle{\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7}\leq \sqrt[7]{3\cdot 8\sqrt{2 ...

Η παρακάτω ανισότητα είναι αρκετά δύσκολη(νομίζω),ή τουλάχιστον την κατασκεύασα με δύσκολο τρόπο :? !

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ a \geq b \geq c \geq d}$ και $\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=2}$.Να δείξετε ότι
$\displaystyle{ \sum_{cyc} (a^7+b^7+c^7)^{1/7} \leq \frac{89 ...

Δεν υπάρχει περίπτωση το πολυώνυμο να μην έχει ρίζες;


Αν δεν είναι σταθερό, τότε έχει ακριβώς τόσες ρίζες (γενικά μιγαδικές, με πολλαπλότητες ) όσες ο βαθμός του.


Σωστά.Έχεις δίκιο.
Εγώ μπερδεύτηκα όταν είδα το $\mathbb{R}[x]$(που σημαίνει ότι το πολυώνυμο έχει πραγματικούς συντελεστές) και ...

Δεν υπάρχει περίπτωση το πολυώνυμο να μην έχει ρίζες;

socrates έγραψε: (\pm)

Ευχαριστώ!
Διόρωσα και την προηγούμενη δημοσιευση.

Υπάρχουν ακέραιοι $x,y,z,t$ ώστε $x^5+ y^5+ z^5+ t^5= 93;$

Έστω ότι υπάρχουν.

Λήμμα: Αν $a \in Z$ τότε $a^5 \equiv 0,\pm 1 \pmod{11}$
Απόδειξη: Αν $11|a$ τότε το ζητούμενο είναι προφανές.Έστω τώρα $(11,a)=1$.
Από το μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε $a^{10} \equiv 1\pmod{11} \Leftrightarrow (a^5 ...

ΑΣΚΗΣΗ 80
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $x , y,$ τέτοιους ώστε $x+y+ 1 | 2xy$ και $x+y-1 | x^2 + y^2-1.$

Θέτουμε $s=x+y$,$p=xy$.Έτσι οι δυο σχέσεις γίνονται:
$s+1|2p$ και $s-1|s^2-2p-1$, δηλαδή $s-1|2p$,αφού $s-1|s^2-1$.
Ως γνωστόν $gcd(s-1,s+1)=1or2$

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

1η) Αν ...

Αν $\displaystyle{ N,M }$ τα μέσα των $\displaystyle{ DE, BC }$ αντίστοιχα, με διπλή εφαρμογή του Θ. Κεντρικής Δέσμης προκύπτει η συνευθειακότητα
αφενός των $\displaystyle{ A,N,M }$ και αφετέρου των $\displaystyle{ N,K,M}$. Συνεπώς τα $\displaystyle{ A,N,K,M }$ είναι συνευθειακά και έτσι ...

Μια λίγο διαφορετική λύση.

Έστω $L,$ το σημείο τομής της $BC$ με την $EF$ και $R,$ το σημείο τομής της $AP$ με την $EF$.

Είναι γνωστό πως η δέσμη $(AL,AD;AB,AC)$ είναι αρμονική.Τώρα αν την τμήσουμε με την $EF$ προκύπτει πως και η δέσμη $(AL,AR;AF,AE)$ είναι αρμονική άρα και η σημειοσειρά $(L,R;F,E ...

Ο Ανδρέας έχει $n \geqslant 2$ προτάσεις $P_1,\ldots,P_n$ για τις οποίες θέλει να αποδείξει πως είναι όλες ισοδύναμες μεταξύ τους. Αυτό θα το κάνει αποδεικνύοντας προτάσεις του τύπου $P_i \Rightarrow P_j$.

Εννοείται πως αν αποδείξει πως $P_i \Rightarrow P_j$ και $P_j \Rightarrow P_k$ τότε δεν ...

Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα $x_1+x_2+x_3, \ \ 1\leq x_j\leq 300, \ j=1,2,3$ είναι πολλαπλασια του 3;


Λύση:

Αρχικά παρατηρούμε πως υπάρχουν ακριβώς 100 αριθμοί, μικρότεροι ή ίσοι του 300, που διαιρούνται με το 3,ακριβώς 100 που όταν διαιρεθούν με το 3 δίνουν υπόλοιπο 1 και 100 που δίνουν ...

Νομίζω πως βρήκα μια λύση άλλα αν μπορεί κάποιος, ας την κοιτάξει.

Αρχικά για χ=0 στην πρώτη παίρνουμε f(0)=0.Για y=0 στην δεύτερη έχουμε χ|f(x), άρα υπάρχει συνάρτηση $g: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ ώστε f(x)=xg(x),x>0.
Από την πρώτη έχουμε: $0 \leq g(x) \leq x$
και από την δεύτερη: $x-y|xg(x ...