Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

#1

Με αφορμή αυτό το ποστ.

Έστω η συνάρτηση

που ορίζεται μέσω της σχέσης $e^{f(x)}+f(x)=x+1$ . Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα όρια

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\ln x}}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)-\ln x}$ ,

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}\left(f(x)-\ln x\right)}$ ,

______________________________________________________________________________________________________________

Νομίζω πως σε ένα ποστ είχαν μαζευτεί πολλά ερωτήματα για τη συγκεκριμένη συναρτησιακή. Ο Μπάμπης το είχε ποστάρει, ο Βασίλης, δεν θυμάμαι. ( Παρμενίδη..; )

mathxl · #2

Μία =προσπάθεια.
Για $\displaystyle{x \ne {x_0}}$ έχουμε ότι
$\displaystyle{{e^{f\left( x \right)}} - {e^{f\left( {{x_0}} \right)}} + f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = x - {x_0} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{{e^{f\left( x \right)}} - {e^{f\left( {{x_0}} \right)}}}}{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}\left( {\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}} \right) + \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 1 \Rightarrow \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\left( {1 + {e^{{\xi _x}}}} \right) = 1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\mathop {1 + {e^{{\xi _x}}}}\limits_{{\xi _x} \to f\left( {{x_0}} \right)} }} \in R}$
Άρα η συνάρτηση μας είναι παραγωγίσιμη (εύκολα βγαίνει 1-1

και δεν το απεδειξα...σημείο που χρειάζεται για τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση με το

.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{f\left( R \right) = R}$ με την συνάρτηση μας γνησίως αύξουσα και $\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{f\left( x \right)}}}}}$ .

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{\ln x}}\mathop = \limits_{DLH}^{\left( {\frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{1 + {e^{f\left( x \right)}}}}\mathop = \limits_{DLH}^{\left( {\frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{e^{f\left( x \right)}}f'\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{e^{f\left( x \right)}}}}} \right) = 1}$

Επειδή $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^{f\left( x \right)}}}}{x}\mathop = \limits_{DLH}^{\left( {\frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \right)} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{e^{f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{1 + {e^{f\left( x \right)}}}}} \right) = 1}$
θα έχουμε
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - \ln x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln {e^{f\left( x \right)}} - \ln x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln \frac{{{e^{f\left( x \right)}}}}{x} = 0}$

.ωρα για ύπνο...

parmenides51 · #3

Να τι βρήκα στο παρόν φόρουμ μας

$\displaystyle{f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1}$ εδώ, εδώ

$\displaystyle{f(x + e^x ) = x}$ εδώ

$\displaystyle{f(x) + {e^{f(x)}} = x + 1}$ εδώ, εδώ

$\displaystyle{f(x) + {e^{f(x)}} ={\color{red}2} x + 1}$ εδώ

edit

Συνημμένα ο,τι βρήκα στο παλιό mathematica (από εδώ)

#4

Παρμενίδη ευχαριστώ πολύ για το μάζεμα. Βασίλη πολύ ωραίες σκέψεις. Τελικά έχει πάρα πολύ ψωμί αυτή η συναρτησιακή. Από ότι βλέπω τα πάνω οριάκια δεν έχουν συζητηθεί στις παραπομπές. Μπορεί κανείς να βρεί κι άλλα όρια αφού η

μπορεί να προσεγγισθεί με όση ακρίβεια θέλουμε κοντά στο $+\infty$ . Θα το αφήσω μήπως δοθεί σχολική λύση και για το

και θα δώσω μετά τη λύση που έχω κάνει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #5

Μία ακόμη εκρεμμότητα είναι αυτή της συνέχειας που χρησιμοποίησα σιωπηρά ώστε να προκύψει ότι $\displaystyle{{\xi _x}\mathop \to \limits^{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right)}$ . Πράγματι με το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε ότι
$\displaystyle{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{x - {x_0}}}{{1 + {e^\xi }}} \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| = \left| {\frac{{x - {x_0}}}{{1 + {e^\xi }}}} \right| \le \left| {x - {x_0}} \right|}$ και με κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε την συνέχεια.

Τώρα το όριο που απομένει είναι αρκετά ζόρικο, δοκίμασα ανεπιτυχώς κάποια πράγματα και βαρέθηκα να προχωρήσεω σε τυροπιτάλ μέχρι θανάτου μιας και έψαχνα κάτι σχετικά απλό...

Το $\displaystyle{Df}$ που έγραψα παραπάνω ήταν για το $\displaystyle{\Delta f}$ .

#6

Μια προσέγγιση:

Η g(x):=e^x+x-1

είναι γνησίως αύξουσα με $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$ , άρα το ίδιο θα ισχύει και για την f(x)

που ορίζεται από τη συναρτησιακή σχέση.

Τώρα από τη δοθείσα παίρνοντας λογάριθμους έχουμε $\displaystyle{f(x)=\ln\left(1+\frac{f(x)}{e^{f(x)}}-\frac{1}{e^{f(x)}}\right)=\ln x}$ , άρα

$\displaystyle{f(x)=\ln x+o(1)\qquad x\to+\infty}$ , όπου

$A(x)=B(x)+o(1)\qquad x\to+\infty\Leftrightarrow A(x)-B(x)\stackrel{x\to+\infty}{\longrightarrow}0$ .

Αντικαθιστώντας στη δοθείσα έχουμε

$\displaystyle{e^{f(x)}=x+\ln x+1+o(1)\Rightarrow}$

$\begin{aligned}f(x)&=\ln(x-\ln x+1+o(1))\notag \\ &=\ln x+\ln\left(1-\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}+o(x^{-1})\right)\notag \\ &=\ln x-\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}+o(x^{-1})\notag\end{aligned}$

από όπου έπεται ότι τα δυο πρώτα όρια είναι αυτά που βρήκε ο Βασίλης και το τελευταίο είναι

, καθώς και ότι $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}x\left (f(x)-\ln x\right)+\ln x =1}$ .

Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Re: Όρια συνάρτησης πεπλεγμένης μορφής (2)

Μέλη σε σύνδεση