ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 2 Αρμονικών Εξάπλευρων.

β. 2η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
1o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(51). Αν ένα κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ έχει αρμονικά τα τετράπλευρα ΑΒΓΕ, ΓΔΕΑ, ΕΖΑΓ, ή ΒΓΔΖ, ΔΕΖΒ, ΖΑΒΔ, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 2α(51) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], § 2α(51).
(β). Στο ίδιο αποτέλεσμα φθάνουμε προφανώς και αν ληφθεί ότι αρμονικά είναι τα τετράπλευρα ΒΓΔΖ, ΔΕΖΒ, ΖΑΒΔ.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω Προτάσεων 2α(46) και 2 α(51).
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 2 Αρμονικών Εξάπλευρων.

β. 2η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
1o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(51). Αν ένα κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ έχει αρμονικά τα τετράπλευρα ΑΒΓΕ, ΓΔΕΑ, ΕΖΑΓ, ή ΒΓΔΖ, ΔΕΖΒ, ΖΑΒΔ, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 2α(51) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], § 2α(51).
(β). Στο ίδιο αποτέλεσμα φθάνουμε προφανώς και αν ληφθεί ότι αρμονικά είναι τα τετράπλευρα ΒΓΔΖ, ΔΕΖΒ, ΖΑΒΔ.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω Προτάσεων 2α(46) και 2 α(51).
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

β. 2η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
1o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 65, παρουσιάζουμε την απόδείξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 2η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (1o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.){έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(51) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2]}.

Το παραπάνω 1ο Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων, είναι πολύ σημαντικό, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν απλούστερο ΟΡΙΣΜΟ, από τον αρχικό μας ορισμό, για τα Αρμονικά Εξάπλευρα και ο οποίος είναι:

«Αρμονικό εξάπλευρο ονομάζεται κάθε κυρτό εγγράψιμο σε κύκλο εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, αν έχει αρμονικά τα τετράπλευρα μιας τουλάχιστον τριάδας τετραπλεύρων από τις δύο τριάδες τετράπλευρων: ΑΒΓΕ, ΓΔΕΑ, ΕΖΑΓ ή ΒΓΔΖ, ΔΕΖΒ, ΖΑΒΔ».

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 και 2 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 3 Αρμονικών Εξάπλευρων, όπως και δύο Πορίσματα αυτής, τα 1 και 2.

γ. 3η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
2o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(47). Αν κυρτού εγγεγραμμένου σε κύκλο εξάπλευρου, οι τρεις διαγώνιές του (κύριες), είναι αντίστοιχα οι φορείς των συμμετροδιάμεσων, τουλάχιστον του ενός από τα δίδυμα τρίγωνα του εξάπλευρου αυτού, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Πόρισμα 1.
Οι τρεις κορυφές κάθε τριγώνου και οι τρεις τομές των συμμετροδιάμεσων του με τον περιγεγραμμένο του κύκλο αποτελούν κορυφές Αρμονικού Εξάπλευρου.

Πόρισμα 2.
3ο Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, με συντρέχουσες διαγώνιες, το σημείο σύγκλισης των διαγωνίων του είναι σημείο Lemoine του ενός τουλάχιστον από τα δίδυμα τρίγωνά του, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2α(47) και το Πόρισμα 1 έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], § 2α(47).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω Προτάσεων 2α(46), 2 α(51), 2α(47) και Πορισμάτων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής


Αναφέρετε αυτήν την δημοσίευση

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 3 Αρμονικών Εξάπλευρων, όπως και δύο Πορίσματα αυτής, τα 1 και 2.

γ. 3η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
2o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(47). Αν κυρτού εγγεγραμμένου σε κύκλο εξάπλευρου, οι τρεις διαγώνιές του (κύριες), είναι αντίστοιχα οι φορείς των συμμετροδιάμεσων, τουλάχιστον του ενός από τα δίδυμα τρίγωνα του εξάπλευρου αυτού, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Πόρισμα 1.
Οι τρεις κορυφές κάθε τριγώνου και οι τρεις τομές των συμμετροδιάμεσων του με τον περιγεγραμμένο του κύκλο αποτελούν κορυφές Αρμονικού Εξάπλευρου.

Πόρισμα 2.
3ο Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, με συντρέχουσες διαγώνιες, το σημείο σύγκλισης των διαγωνίων του είναι σημείο Lemoine του ενός τουλάχιστον από τα δίδυμα τρίγωνά του, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2α(47) και το Πόρισμα 1 έχουν καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], § 2α(47).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω Προτάσεων 2α(46), 2 α(51), 2α(47) και Πορισμάτων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής


Αναφέρετε αυτήν την δημοσίευση

γ. 3η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
2o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 66, παρουσιάζουμε τις απόδείξεις που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 3η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (2o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.){έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(47) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2]},όπως για τα Πορίσματά της 1 και 2.

Τα παραπάνω Πορίσματα 1 ή 2 του 2ου Κριτήριου Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων, είναι πολύ σημαντικά, γιατί μας επιτρέπουν να έχουμε έναν απλό τρόπο κατασκευής ενός τυχαίου Αρμονικύ Εξάπλευρου.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 3 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 4 Αρμονικών Εξάπλευρων, όπως και ένα Πορίσματα αυτής.

δ. 4η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
4o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, οι τρεις διαγώνιές του (κύριες), περνούν ανά μία αντίστοιχα από τρεις μη διαδοχικές κορυφές του εξάπλευρου που έχει κορυφές τις έξι τομές των μία παρά μία πλευρών του αντίστοιχου περιγεγραμμένου εξάπλευρου του δοσμένου εγγεγραμμένου εξάπλευρου, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Πόρισμα .
7ι(211). Οι τρεις κορυφές κάθε τριγώνου και οι τρεις τομές των τριών σεβιανών Gergonne (§ 2στ) του αντίστοιχού του τριγώνου, με τον αντίστοιχό τους κύκλο, αποτελούν κορυφές Αρμονικού Εξάπλευρου.

Παρατήρηση.
Το Πόρισμα 10ι(211) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], §10ι(211) (10ος τόμος).Το Πόρισα αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς τούτο μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε πολύ εύκολα τυχαίο Αρμονικό Εξάπλευρο.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω τεσσάρων Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 4 Αρμονικών Εξάπλευρων, όπως και ένα Πορίσματα αυτής.

δ. 4η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
4o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, οι τρεις διαγώνιές του (κύριες), περνούν ανά μία αντίστοιχα από τρεις μη διαδοχικές κορυφές του εξάπλευρου που έχει κορυφές τις έξι τομές των μία παρά μία πλευρών του αντίστοιχου περιγεγραμμένου εξάπλευρου του δοσμένου εγγεγραμμένου εξάπλευρου, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Πόρισμα .
7ι(211). Οι τρεις κορυφές κάθε τριγώνου και οι τρεις τομές των τριών σεβιανών Gergonne (§ 2στ) του αντίστοιχού του τριγώνου, με τον αντίστοιχό τους κύκλο, αποτελούν κορυφές Αρμονικού Εξάπλευρου.

Παρατήρηση.
Το Πόρισμα 10ι(211) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], §10ι(211) (10ος τόμος).Το Πόρισα αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς τούτο μας επιτρέπει να κατασκευάζουμε πολύ εύκολα τυχαίο Αρμονικό Εξάπλευρο.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω τεσσάρων Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

δ. 4η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
4o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 67, παρουσιάζουμε τις απόδείξεις που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 4η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (4o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.),όπως για σχετικό Πόρισμα {που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 10ι(211) (τόμος 10) του βιβλίου μας [2]}.

Το παραπάνω Πόρισμα του 4ου Κριτήριου Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων, είναι πολύ σημαντικά, γιατί μας επιτρέπει να έχουμε έναν ακόμη απλό τρόπο κατασκευής ενός τυχαίου Αρμονικύ Εξάπλευρου.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 4 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 5 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ε. 5η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
5o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(50). Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R), εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, που έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τα έξι τετράπλευρά του ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ, είναι αρμονικά, εκτός από τα ζεύγη εκείνα των οποίων τα δύο τετράπλευρα έχουν κοινή διαγώνιό τους μία από τις διαγώνιες του δοσμένου εξάπλευρου, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(50) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2 α(50) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω πέντε Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 5 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ε. 5η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
5o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(50). Αν σε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R), εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, που έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τα έξι τετράπλευρά του ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ, είναι αρμονικά, εκτός από τα ζεύγη εκείνα των οποίων τα δύο τετράπλευρα έχουν κοινή διαγώνιό τους μία από τις διαγώνιες του δοσμένου εξάπλευρου, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(50) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2 α(50) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω πέντε Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα δώσουμε παρακάτω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

ε. 5η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
5o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 68, παρουσιάζουμε την απόδειξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 5η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (5o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων),που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(50) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2].

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 5 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 6 Αρμονικών Εξάπλευρων.

στ. 6η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
6o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(55). Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τις διαγώνιές του αυτές περνούν ανά μία από μια κορυφή του εξάπλευρου , που έχει κορυφές τις έξι μία παρά μία τομές των πλευρών του αντίστοιχου περιγεγραμμένου εξάπλευρου Α'Β'Γ'Δ'Ε'Ζ' του δοσμένου εξάπλευρου ΑΒΓΔΕΖ, εκτός από τα τρία ζεύγη απέναντι κορυφών του εξάπλευρου , τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(55) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2 α(55) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω έξι Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 6 Αρμονικών Εξάπλευρων.

στ. 6η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
6o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(55). Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τις διαγώνιές του αυτές περνούν ανά μία από μια κορυφή του εξάπλευρου , που έχει κορυφές τις έξι μία παρά μία τομές των πλευρών του αντίστοιχου περιγεγραμμένου εξάπλευρου Α'Β'Γ'Δ'Ε'Ζ' του δοσμένου εξάπλευρου ΑΒΓΔΕΖ, εκτός από τα τρία ζεύγη απέναντι κορυφών του εξάπλευρου , τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(55) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2 α(55) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω έξι Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

6. 6η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
6o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 69, παρουσιάζουμε την απόδειξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 6η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (6o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων),που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(55) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2].

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 6 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 7 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ζ. 7η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
7o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(54).Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τις διαγώνιές του αυτές περνούν ανά μία, από μια τομή απέναντι πλευρών του, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(54) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2α(54) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω επτά Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής


Αναφέρετε αυτήν την δημοσίευση

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 7 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ζ. 7η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
7o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
2α(54).Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και δύο τουλάχιστον από τις διαγώνιές του αυτές περνούν ανά μία, από μια τομή απέναντι πλευρών του, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(54) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2α(54) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω επτά Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής


Αναφέρετε αυτήν την δημοσίευση

ζ. 7η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
7o. Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 70, παρουσιάζουμε την απόδειξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 7η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (7o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων),που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(54) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2].

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 7 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 9 Αρμονικών Εξάπλευρων(Πρόβλημα).

θ. 9η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων.
2α(56). Να κατασκευασθεί Αρμονικό Εξάπλευρο, του οποίου δίνονται οι τρεις μία παρά μία κορυφές.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(56) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2α(56) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω οκτώ Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 9 Αρμονικών Εξάπλευρων(Πρόβλημα).

θ. 9η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων.
2α(56). Να κατασκευασθεί Αρμονικό Εξάπλευρο, του οποίου δίνονται οι τρεις μία παρά μία κορυφές.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(56) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2α(56) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω οκτώ Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να βοηθήσουμε στην κατασκευή της 9ης Πρότασης "Αρμονικών Εξάπλευρων" (Πρόβλημα Κατασκευής "Αρμονικών Εξάπλευρων"), προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να βασισθούν στα Πορίσματα των παραγράφων 5γ(Κριτήριο 2) ή 5δ(Κριτήριο 4), (που είναι πολύ πιο απλό) .


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 9 Αρμονικών Εξάπλευρων(Πρόβλημα).

θ. 9η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων.
2α(56). Να κατασκευασθεί Αρμονικό Εξάπλευρο, του οποίου δίνονται οι τρεις μία παρά μία κορυφές.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 2 α(56) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], 2α(56) (2ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω οκτώ Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

θ. 9η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 72, παρουσιάζουμε δύο λύσεις που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 9η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων (Πρόβλημα Κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων),που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(56) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2].

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 7 και 9 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 8 Αρμονικών Εξάπλευρων.

η. 8η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
40Η. Σε κάθε Αρμονικό Εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ,είναι: ΑΒ.ΓΔ.ΕΖ=ΒΓ.ΔΕ.ΖΑ=(ΑΔ.ΒΕ.ΓΖ):8. (1).

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 40Η έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [1], (3ος τόμος σελίδα 1326).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω εννέα Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 8 Αρμονικών Εξάπλευρων.

η. 8η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
40Η. Σε κάθε Αρμονικό Εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ,είναι: ΑΒ.ΓΔ.ΕΖ=ΒΓ.ΔΕ.ΖΑ=(ΑΔ.ΒΕ.ΓΖ):8. (1).

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 40Η έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [1], (3ος τόμος σελίδα 1326).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω εννέα Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

η. 8η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 71, παρουσιάζουμε την απόδειξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 8η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων , που έχει καταχωρηθεί στον τόμο 3 του βιβλίου μας [1] (σελίδα 1326).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 9 Αρμονικών Εξάπλευρων, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 10 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ι. 10η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
10ι(134). Το σημείο σύγκλισης των διαγώνιων κάθε Αρμονικού Εξάπλευρου, συμπίπτει με το σημείο Brianchon {[5]( § 11-11)}, του αντίστοιχου περιγεγραμμένου του εξάπλευρου.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 10ι(134) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], (10ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω δέκα Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 10 Αρμονικών Εξάπλευρων.

ι. 10η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
10ι(134). Το σημείο σύγκλισης των διαγώνιων κάθε Αρμονικού Εξάπλευρου, συμπίπτει με το σημείο Brianchon {[5]( § 11-11)}, του αντίστοιχου περιγεγραμμένου του εξάπλευρου.

Παρατήρηση.
Η Πρόταση 10ι(134) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], (10ος τόμος).

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω δέκα Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω ή εκείνα που θα ακολουθήσουν.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

i. 10η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 73, παρουσιάζουμε την απόδειξη που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 10η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων, που έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 10ι(134) (τόμος 10) του βιβλίου μας [2].

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα των Προτάσεων 1 μέχρι 10 Αρμονικών Εξάπλευρων , φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που έχουμε δώσει παραπάνω και σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.



Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 11 Αρμονικών Εξάπλευρων (8o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.)

ια. 11η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
8o Κριτήριο Αρμονικότητας Εγγεγραμμένων Εξάπλευρων.
10ι(141). Αν κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, έχει τις διαγώνιές του (κύριες) συντρέχουσες και υπάρχει στο επίπεδό του σημείο για το οποίο οι αποστάσεις από τις πλευρές του (του εξάπλευρου), είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες πλευρές του, τότε και μόνο τότε το εξάπλευρο αυτό είναι αρμονικό.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 10ι(141) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2], παράγραφος 10ι(141) (10ος τόμος).
(β). Η ιδιότητα αυτή που απορρέει από το Κριτήριο 8, μας επιτρέπει να ονομάζουμε το σημείο σύγκλισης των διαγώνιων (κύριων), κάθε Αρμονικού Εξάπλευρου, ως σημείο Lemoine, του εξάπλευρου αυτού.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και των παραπάνω ένδεκα Προτάσεων και τριών Πορισμάτων Αρμονικών Εξάπλευρων.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που δώσαμε παραπάνω.


Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής