Μιας και ανακοινώθηκε η ομάδα του ΕΜΠ να πω κι εγώ ότι το Μαθηματικό φέτος θα εκπροσωπηθεί από τους: (αλφαβητικά)

Εσκενάζη Αλέξανδρο
Ζέμα Κωνσταντινο
Καφετζόπουλο Αναστάση
Μπογιόκα Δημήτρη και
Τσουβαλά Κωνσταντίνο

Τα σημερινά θέματα ήταν τα εξής:

1) Να βρεθούν $n \in \mathbb{N}$ και $x_1,...,x_n >0$ τέτοια ώστε:
(α) $x_1+x_2+...+x_n \geq 2$,
(β) $x_1^3+x_2^3+...+x_n^3 \leq \frac{8}{49}$ και
(γ) ο $n$ είναι ο ελάχιστος δυνατός.

2)Για $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε
$a_n=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2} ]}\binom{n-k}{k ...

Aν $z=e^{\frac{2\pi i}{5}$ τότε $P(x)=(x-z)(x-z^2)(x-z^3)(x-z^4)$. Το $P(x)$ δεν έχει ρίζα στο $\mathbb{R}$ αρα αν παραγοντοποιείται στο $\mathbb{Q}$, θα γράφεται ως γινόμενο δυο δευτεροβάθμιων. Έστω ότι αυτό γίνεται. Τότε υπάρχουν $i < j \in \{1,2,3,4\}:(x-z^i)(x-z^j) \in \mathbb{Q}[x]$. Άρα $z^i+z ...

Θέτω $p(x)=det(A-xI)=-x^3+bx^2+cx+d$ και έχω $p(-2)$ περιττός, δηλαδή $d$ περιττός. Επίσης, $p(-1)=1 mod2$ δηλαδή $1+b-c+d=1 mod2$ άρα $b-c=1 mod2$.
Αφού $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ μονικό, αν $x \in \mathbb{Q}$ ρίζα του $p(x)$ είναι αναγκαστικά $x \in \mathbb{Z}$ και $x / d$. Αφού $d$ περιττός ...

Να ευχηθώ κι εγώ καλή επιτυχία σε όλη την ομάδα, αλλά ιδιαίτερα στο τεράστιο Νίκο Κολλιόπουλο! Σκίσ' τους μεγάλε! Άντε και με το χρυσό φέτος. Να βγάλετε και φωτογραφίες να δούμε πως περάσατε γιατί θα ζηλεύουμε!

Elef8eroskopefths

Ευχαριστώ μεγάλε Dreamkiller. Να είσαι καλά. Να ευχηθώ κι εγώ με την σειρά μου καλή επιτυχία στον Nick1990. Σκίσ' τους μεγάλε!


edit: Ξεχάστηκα, δε δίνει φέτος. kwstas12345 καλή επιτυχία!

Έστω $p$ ένας πρώτος διαιρέτης του $d$. Τότε $a^2=-2 modp$, άρα, αφού ο p είναι περιττός, το σύμβολο Legendre $(\frac{-2}{p})$ ισούται με 1. Όμως, $(\frac{-2}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.$ Για $p=5 mod8$ το $\frac{p^2-1}{8}$ είναι περιττός και το $\frac ...

Αφού $f$ συνεχής, δίχως βλάβη $f(x)>ax , \forall x \in \mathbb{R}$.
Αν υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R} : f'(x_0)=a$ τελειώσαμε. Αν όχι, από την ιδιότητα Darboux της παραγώγου διακρίνω τις περιπτώσεις:
(α) $f'(x)>a, \forall x \in \mathbb{R}$. Τότε ισχύει $a=\inf_{x \in \mathbb{R}}f'(x)$:
Aν δεν ισχύει ...

Aν η $(a_n)$ δεν συγκλίνει στο μηδέν είναι άμεσο αφού η $min\{1,a_n\}$ δε θα είναι μηδενική και αφού είναι θετική είναι και $\sum_{n=1}^{\infty}min\{1,a_n\}=+\infty$. Αν πάλι $a_n \rightarrow 0$ τότε υπάρχει $N \in \mathbb{N}: \forall n\geq N{\ } min\{1,a_n\}=a_n$, Άρα από την υπόθεση είναι και ...

Για το 3:
Έστω ότι υπάρχει. Τότε εύκολα η f 1-1. Δηλ. ορίζεται καλά η $f^{-1}:f(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ και $\forall x,y \in f(\mathbb{R}) |f^{-1}(x)-f^{-1}(y)|<=|x-y|^{\frac{1}{a}}$, όπου $\frac{1}{a}>1$, άρα $\frac{|f^{-1}(x)-f^{-1}(y)|}{|x-y|}<=|x-y|^{\frac{1}{a}-1}, \forall x,y \in f ...

Έστω $n$ θετικός ακέραιος και $A,B \in M_n(\mathbb{C})$ ώστε $2A^2=3B^3=I$. Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{AX-XB=3B^2-2A$.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Λοιπόν: $A^2X-AXB=3AB^2-2A^2 \Rightarrow \frac{1}{2}X-AXB=3AB^2-I (1)$.
$AXB^2-XB^3=3B^4-2AB^2 \Rightarrow AXB^2-\frac{1}{3}X=B-2AB^2 (2)$
Από την (1 ...

Είναι: $f'(x)=n[f(x+1/n)-f(x)]=n\int_{x}^{x+1/n}f'(t)dt=n\int_{0}^{1/n}f'(x+t)dt$. Όμως:
$f'(x)=n\int_{0}^{1/n}f'(x)dt$. Άρα $\int_{0}^{1/n}(f'(x+t)-f'(x))dt=0, \forall x \in R, n \in N (*)$. Από την υπόθεση προφανώς η ζητούμενη f ειναι 2 φορές παραγωγίσιμη και η f'' είναι συνεχής.
Ισχυρισμός: $f ...

Για $x=y=z=0 : f(0)=-2$
Για $x=z, y=0 : f(x)f(-x)=4,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Άρα $f(x)>0$ για κάθε $x$ είτε $f(x)<0$ για κάθε $x$ (λόγω συνέχειας της $f$).
Για $z=0: f(x-y)f(y)f(-x)=-8$. Στην τελευταία για $y=-y : f(x+y)f(-y)f(-x)=-8$. Άρα από τις παραπάνω:
$\displaystyle{f(x+y)\frac{4}{f(y ...

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, για τις οποίες

$f(x-y)f(y-z)f(z-x)+8=0, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$

Για $x=y=z=0 : f(0)=-2$
Για $x=z, y=0 : f(x)f(-x)=4,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Άρα $f(x)>0$ για κάθε $x$ είτε $f(x)<0$ για κάθε $x$ (λόγω συνέχειας ...

Έστω $S$ το επίπεδο χωρίο πού ορίζεται στο πρώτο τεταρτημόριο από τις ευθείες $y=x$ , $y=2x$ , και τους κύκλους $x^2+y^2=1$ και $x^2+y^2=2$ και $\gamma$ το αρνητικά προσανατολισμένο σύνορό του. Να υπολογισθούν:

α. Το εμβαδόν τού $S$ .

β. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $I=\displaystyle\ointclockwise ...

Αν η φραγμένη συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ είναι Riemmann ολοκληρώσιμη, να εξεταστεί αν αληθεύει η πρόταση:

Το σύνολο $\displaystyle{A=\{\int_c^df(x)dx / c,d \in [a,b]\}$ είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα.

Αληθεύει:

Αφού η f είναι φραγμένη και Riemann ολοκληρώσιμη, η συνάρτηση $F:[a ...

Ωραίος! Η λύση όμως χρησιμοποιεί το θεώρημα του χαρακτηρισμού των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων μέσω του μέτρου του συνόλου των σημείων ασυνέχειάς τους, που είναι αρκετά βαρύ.

Αν θέλεις προσπάθησε το και με τον ορισμό.


Και χωρίς μέτρο: (ελπίζω να μην ξέφυγε τίποτα)

Αν υπάρχει το παραπάνω $x_0$ ας ...

Έστω $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχείς συναρτήσεις και η $h:\mathbb R\to\mathbb R$ με $h(x):=\begin{cases}f(x), & x\in\mathbb Q \\ g(x), & x\not\in\mathbb Q\end{cases}$. Δείξτε ότι η $h$ είναι ολοκληρώσιμη σε κάποιο $[a,b]\subset \mathbb R$ αν και μόνο αν $f(x)=g(x)$ για κάθε $x\in[a,b]$.


Η ...