Καλημέρα :)
Προτείνω μια λύση ενδιαφερόμενος να μάθω από πιο έμπειρα μάτια αν η αντιμετώπιση έχει κενά.(Σε hide αφού σε ΚΑΜΙΑ περίπτωση δεν είναι σχολική).
Θεωρώντας την ακολουθία $a_{n}=\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{...\sqrt{1+n}}}}$ έχουμε ότι
$\sqrt{1+(n+1)}\geq 1$ και συνεπώς $a_{n+1}\geq a ...

Κάθε τέτοιος $k$ ονομάζεται "αριθμός Sierpinski" . Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης έγινε το 1960 από τον Sierpinski.

Είναι (ακόμη) ανοικτό πρόβλημα για το αν ο αριθμός 78557 είναι (όπως είχαν ισχυριστεί οι Sierpinski και Selfridge το 1967) ο μικρότερος αριθμός Sierpinski.

Περισσότερες ...

Καλησπέρα.Το ζητούμενο για $s=3$ είναι προφανές, αφού έχω $x_{1}=2$ ,$x_{2}=3$ ,$x_{3}=6$.
Έστω τώρα πως έχω λύση για $s=k$ την k-άδα $(x_{1},...,x_{k})$.Είναι προφανές τώρα πως η k+1-άδα $( 2,2x_{1},2x_{2},...,2x_{k})$ είναι λύση για $s=k+1$.
Συνεπώς έχω δείξει πως έχω λύση για κάθε $s$.Για το ...

Καλησπέρα.Πιστεύω πως το σύνολο τιμών στο Δ ερώτημα δεν χρειαζόταν.
Πιο αναλυτικά για , άρα από όπου εύκολα παίρνουμε το όριο στο άπειρο.

Για έχεις οτι ή ότι δεν παίρνει και αρνητικές και θετικές τιμές.
Στην πρώτη περίπτωση δες τι γίνεται για ,ενώ στην δεύτερη παρατήρησε οτι

Καλημέρα.
Θεωρούμε $p_{n}$ την ακολουθία των πρώτων αριθμών και έστω $n\geq 5$
Αν $p_{k}-1\geq n\geq p_{k-1}$
Έχω λόγω του παραγοντικού πως $a\equiv 0 mod p_{i}$ για $i=1,2,3,...,k-1$
Συνεπώς $a\geq p_{1}p_{2}...p_{k-1}\geq2p_{k-1}\geq p_{k}+1\geq n+2$ προφανώς άτοπον.
Άρα $n=1$ ή $n=2$ ή $n=3$ ή $n ...

Καλησπέρα και καλές γιορτές :)
$f(x^{2}) + xf(y) = f(x)f(x + f(y))$
Για $x=0$ έχουμε
$f(0)=f(0)f(f(y))$
'Αρα $f(0)=0$ ή $f(f(y))=1$
Έστω πως ισχύει $f(f(x))=1$ :
Στην αρχική για $x=1$ :
$f(1) + f(y)=f(1)f(1 + f(y)) (1)$
Αν $f(1)=0$ τότε $f(x)=0$ για όλα τα $x$,το οποίο είναι άτοπον αφού $f(f(x))=1 ...

Σχήμα Ευκλείδη 2016.png
Μια ακόμα λύση για την Γεωμετρία της Γ Λυκείου:
Η $ED$ είναι ο ριζικός άξων των κύκλων με κέντρα $O$ και $C$.Συνεπώς $OC$ και $ED$ κάθετες.
Η $DF$ είναι ο ριζικός άξων των κύκλων με κέντρα $B$ και $C$.Συνεπώς $BC$ και $DF$ κάθετες.
Άρα $\hat{OCB}=\hat{EDF}=\hat{\frac{ECF}{2 ...

Η είναι ένα εύκολο αντιπαράδειγμα και για τα δύο ερωτήματα.

Άρα διοτι δεχτήκαμε αρχικά ότι δεν υπάρχει

Γιατί από το γεγονός πως η υπόθεση πως ισχύει για κάθε καταλήγει σε άτοπο παίρνουμε πως για όλα τα ;

Αρχικά δεδομένου ότι σε ενδιαφέρουν οι συνδυασμοί και όχι η σειρά των γραμμάτων μπορείς να πάρεις τον τύπο για τους συνδυασμούς $\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$
με τον οποίο βρίσκεις τους τρόπους με τους οποίους διαλέγεις $k$ αντικείμενα από $n$ άλλα χωρίς επαναλήψεις και χωρίς να σε ενδιαφέρει η ...

Μια λύση είναι να κόψουμε τις $4$ράβδους σε $5m,5m,3m$ τις $5$ ράβδους σε $4m,4m,5m$ και τις υπόλοιπες $3$ σε $3m, 3m ,3m, 4m$.
Η λύση θα είναι και μοναδική αφού το $13$ μπορεί να εκφραστεί με τους παραπάνω 3 τρόπους ως άθροισμα των $3, 4 ,5$.
Συνεπώς αν επιλέξουμε να κόψουμε $x$ ράβδους σε ...

Λέω πως αν πάρουμε τότε
1)τακαι είναι μηδέν οπότε δεν μπορώ να διαιρέσω
Ή
2)υπάρχουν μη μηδενικά καιοπότε παίρνωΕπομένως υπάρχει ένα διάστημα στο οποίο η είναι

Για $x=y=1$ παίρνουμε πως $f(f(1))=0$
Για $x=0$ και $y=1$ έχουμε $0+f(0)=f(0)+f(0)+0$
Άρα $f(0)=0$
Τώρα για $y=0$ παίρνουμε πως $f(x)=0$, $x\geq 0$
Για $x=0 f(f(x))=0$
Άρα για x,y αρνητικά η δοθείσα γίνεται:
$xf(y)=yf(x)$ (Αφού θα είναι $xy\geq 0$)
$f(x)=\frac{x}{y}f(y)$ από όπου f συνεχής.
Ακόμα ...

Το θεώρημα μέσης τιμής θα σου δώσει ισότητα και δεν έχεις και παραγωγισιμότητα. Μήπως εννοείς ΘΜΕΤ?

Επειδή είμαι και εγώ 3η Λυκείου,οι ασκήσεις που μας τίθενται φαίνεται να προδίδονται από τον εκφώνηση!Τι εννοώ τώρα...Στην συγκεκριμένη άσκηση έχεις συνέχεια και ανισότητα πως μπορείς να τα συνδυάσεις?

Μπορεί να βγει κάτι με αυτόν τον τρόπο?
Αν $O$ το περίκεντρο και $OOb , OOa , OOc$ τα αποστήματα:
$HD + HE + HF=AD + BE +CF - (AH+BH+CH)=

=AD+BE+CF -2(OOa + OOb +OOc )=AD+BE+CF-2(R+r)$
(Από το θεώρημα του Carnot)
Στη συνέχεια:
$AD+BE+CF=2E(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2E}{abc}\sum{ab ...

Μην ξεχνάς πως τα και είναι σταθερές και δεν τρέχουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Καλησπέρα και από εμένα!
H εξίσωση είναι $\displaystyle{p_1(p_1+p_2)=p_3+24}$
Θα πάρουμε 2 περιπτώσεις:
Αν $\displaystyle{p_2=2}$ τότε η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{(p_1-4)(p_1+6)=p_3}$ από όπου p$\displaystyle{_1=5}$ και $\displaystyle{p_3=11}$
Αν το $\displaystyle{p_2}$ δεν είναι ίσο με ...

Για το τέταρτο θεμα της γ λυκείου( Με παραπομπή στο σχήμα του vittasko που βρίσκεται παραπάνω):
Είναι:
Έχοντας αποδείξει πως $D, S, E$ συνευθειακά $MSEC$ , $DSNB$ εγγεγραμμένα τραπέζια και άρα ισοσκελή.Επομένως είναι $SM=AC/2$ και $SN=AB/2$.
H γωνία $MSK$ εύκολα δείχνουμε μέσω του σημείου $T$ πως ...